Chain rule

[Galager]

Ciao a tutti, stavo studiando le superfici e una piccola applicazione della regola della catena mi ha confuso..
Data una parametrizzazione $x=x(u,v)$ considero la funzione $u=u(\theta,\phi)$, $v=v(\theta,\phi)$ e dunque riparametrizzo la superficie come $x=\bar(x)(\theta,\phi)=x(u(\theta,\phi),v(\theta,\phi))$.
Ora la derivata rispetto a $theta$ è $\bar(x)_{theta}=x_{u}u_{theta}+x_{v}v_{theta}$.
Per quanto elementare questo fatto non mi torna, in particolare che ci sia una somma. Potreste spiegarmelo in maniera chiara ed evidente? grazie mille

[luc27]

Ciao Galager,

Basta applicare la regola della catena. La funzione $x(u,v)$ dipende dalla funzione $u$ e $v$ che a loro volta dipendono da $\theta$ e $\phi$. Infatti, $x=x(u(\theta,\phi),v(\theta,\phi))$.
Di conseguenza
$\frac{\partial x}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u }{\partial \theta} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial \theta}$

La somma é dovuta al fatto che $v=v(\theta,\phi)$. Se la funzione $v$ non dipendesse da $\theta$, allora
$\frac{\partial x}{\partial \theta} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u }{\partial \theta}$

Spero ti possa essere di aiuto.

[Galager]

Sì funziona ma non mi convince.. si può dimostrare?

[luc27]

Che cosa non ti convince?

[Galager]

Non mi viene così spontaneo visualizzare questa formula, comunque posso memorizzarla ed usarla. si può invece dimostrare?

[luc27]

Ma non occorre memorizzarla (anzi, non devi farlo). Puoi prendere come esempio il teorema per la derivata della funzione composta.