Cesaro, successione della media geometrica
Salve, non riesco a capire questi appunti su Cesaro. In particolare tutti gli esempi e la dimostrazione del teorema del limite della radice ennesima di $a_n$.
Risposte
Non posso postare foto? Allora a che serve la funzione? Lo terrò comunque presente per le prossime volte. Potreste aiutarmi?
esempio col logaritmo. come è collegata la media geometrica al logaritmo?
come si calcola il limite della radice ennesima di n?
Ciao Lyra,
Per motivi tecnici l'immagine non riesco a vederla, ma provo lo stesso a rispondere alle tue ultime due domande.
L'idea è calcolare il limite seguente:
$lim_{n \to +\infty} frac{log(n!)}{n} $
Ora il 1° Teorema di Cesàro afferma che se $lim_{n \to +\infty} a_n = l \in \bar \RR \implies lim_{n \to +\infty} \alpha_n = l $ (non vale l'implicazione contraria)
ove $\alpha_n $ è la successione delle sue medie. Nel caso in esame, posto $a_n := log n $, si ha subito $lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} log(n) = +\infty $
La successione delle sue medie è la seguente:
$\alpha_n := frac{1}{n} sum_{k = 1}^n a_k = frac{1}{n} sum_{k = 1}^n log(k) = frac{1}{n} [log(1) + log(2) + ... + log(n)] = frac{1}{n} log(1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n) = frac{log(n!)}{n} $
Quest'ultima è proprio la successione della quale si desidera calcolare il limite. Perciò per il 1° Teorema di Cesàro si ha:
$ lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \implies lim_{n \to +\infty} \alpha_n = lim_{n \to +\infty} frac{log(n!)}{n} = +\infty $
In questo caso si sfrutta il 4° Teorema di Cesàro, che afferma che se la successione $a_n $ è positiva $\AA n \in \NN $, se $ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $
Qui è facile: basta assumere $a_n := n $ che si vede subito che $ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n + 1}{n} = 1 $, per cui per il 4° Teorema di Cesàro si ha:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n + 1}{n} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{n} = 1 $
Per motivi tecnici l'immagine non riesco a vederla, ma provo lo stesso a rispondere alle tue ultime due domande.
"Lyra":
esempio col logaritmo. come è collegata la media geometrica al logaritmo?
L'idea è calcolare il limite seguente:
$lim_{n \to +\infty} frac{log(n!)}{n} $
Ora il 1° Teorema di Cesàro afferma che se $lim_{n \to +\infty} a_n = l \in \bar \RR \implies lim_{n \to +\infty} \alpha_n = l $ (non vale l'implicazione contraria)
ove $\alpha_n $ è la successione delle sue medie. Nel caso in esame, posto $a_n := log n $, si ha subito $lim_{n \to +\infty} a_n = lim_{n \to +\infty} log(n) = +\infty $
La successione delle sue medie è la seguente:
$\alpha_n := frac{1}{n} sum_{k = 1}^n a_k = frac{1}{n} sum_{k = 1}^n log(k) = frac{1}{n} [log(1) + log(2) + ... + log(n)] = frac{1}{n} log(1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n) = frac{log(n!)}{n} $
Quest'ultima è proprio la successione della quale si desidera calcolare il limite. Perciò per il 1° Teorema di Cesàro si ha:
$ lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \implies lim_{n \to +\infty} \alpha_n = lim_{n \to +\infty} frac{log(n!)}{n} = +\infty $
"Lyra":
come si calcola il limite della radice ennesima di n?
In questo caso si sfrutta il 4° Teorema di Cesàro, che afferma che se la successione $a_n $ è positiva $\AA n \in \NN $, se $ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $
Qui è facile: basta assumere $a_n := n $ che si vede subito che $ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n + 1}{n} = 1 $, per cui per il 4° Teorema di Cesàro si ha:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n + 1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{n + 1}{n} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{n} = 1 $
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