Cerco un aiuto su questo limite, due dubbi sul procedimento logico
Buon pomeriggio a tutti:)
vorrei chiedere se questo passaggio è corretto o meno, lo chiedo perché so che non si può usare "l'algerba dei limiti" (passatemi il termine
) "a pezzi", ovvero si deve far tutto tendere al valore del limite in un sol colpo.
Venendo al dunque:
$lim_(x->-∞) (-x+2)/(x^2+x) e^(-x)=lim_(x->-∞) (x(-1+2/x))/(x(x+1))e^(-x)=lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)$
e fino a qui ok.
Ora ho pensato: essendo $2/x->0$ posso usare la parte principale dell'infinito e mettere in evidenza
$(-1/x)e^(-x)$ cioè non tengo in considerazione a denominatore 1 e a numeratore 2/x, però per farlo sono passato al limite, prima di quel che sto per fare ora, adesso moltiplico infatti per $e^(-x)$ e avrò
$-e^(-x)/x$
Ma il passaggio è lecito? Mi piacerebbe saperlo per il futuro.
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Vorrei poi porvi all'attezione un secondo dubbio che mi è venuto facendo l'esercizio.
Io so bene che
$lim_(x->+∞) e^x/x=+∞$ Per il così detto "confronto di infiniti", ma se mi trovassi un limite del genere:
$lim_(x->-∞) e^(-x)/x=?$ il problema è che in valore assoluto (diciamo così) a numeratore cresce più velocemente (scusate il poco formalismo ma non è facile da spiegare) ma il denominatore tende a $-∞$
Avrei quindi $[+∞/(-∞)]$ che se fosse $[+∞/(+∞)]$ saprei in questo caso risolvere perché generato da due funzioni $e^x$ e $x$ che so dare un +infinito.
Insomma, non capisco come fare in questo caso dato che ho segni differenti a confronto.
Spero abbiate tempo e voglia di spiegarmi bene queste due faccende, sasrebbe per me importante capire.
Un grazie sincero.
vorrei chiedere se questo passaggio è corretto o meno, lo chiedo perché so che non si può usare "l'algerba dei limiti" (passatemi il termine
) "a pezzi", ovvero si deve far tutto tendere al valore del limite in un sol colpo.Venendo al dunque:
$lim_(x->-∞) (-x+2)/(x^2+x) e^(-x)=lim_(x->-∞) (x(-1+2/x))/(x(x+1))e^(-x)=lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)$
e fino a qui ok.
Ora ho pensato: essendo $2/x->0$ posso usare la parte principale dell'infinito e mettere in evidenza
$(-1/x)e^(-x)$ cioè non tengo in considerazione a denominatore 1 e a numeratore 2/x, però per farlo sono passato al limite, prima di quel che sto per fare ora, adesso moltiplico infatti per $e^(-x)$ e avrò
$-e^(-x)/x$
Ma il passaggio è lecito? Mi piacerebbe saperlo per il futuro.
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Vorrei poi porvi all'attezione un secondo dubbio che mi è venuto facendo l'esercizio.
Io so bene che
$lim_(x->+∞) e^x/x=+∞$ Per il così detto "confronto di infiniti", ma se mi trovassi un limite del genere:
$lim_(x->-∞) e^(-x)/x=?$ il problema è che in valore assoluto (diciamo così) a numeratore cresce più velocemente (scusate il poco formalismo ma non è facile da spiegare) ma il denominatore tende a $-∞$
Avrei quindi $[+∞/(-∞)]$ che se fosse $[+∞/(+∞)]$ saprei in questo caso risolvere perché generato da due funzioni $e^x$ e $x$ che so dare un +infinito.
Insomma, non capisco come fare in questo caso dato che ho segni differenti a confronto.
Spero abbiate tempo e voglia di spiegarmi bene queste due faccende, sasrebbe per me importante capire.
Un grazie sincero.
Risposte
Per il primo limite, tieni presente che puoi fare un cambiamento di variabile $y=-x$ e ricondurre tutto in una forma standard.
Per il secondo, nota che $e^(x)/x$ è il prodotto di due funzioni infinitesime in $-oo$.
Per il secondo, nota che $e^(x)/x$ è il prodotto di due funzioni infinitesime in $-oo$.
Ciao e grazie!
Noooo! ho dimenticato un meno sulla seconda perdonami. Correggo instantly.
In realtà volevo chiedere aiuto non tanto sull'esercizio in sé.. ma capire se fossero giusti i passaggi "logici" fatti con i metodi esposti.
Per capire se utilizzabili o meno.
Noooo! ho dimenticato un meno sulla seconda perdonami. Correggo instantly.
In realtà volevo chiedere aiuto non tanto sull'esercizio in sé.. ma capire se fossero giusti i passaggi "logici" fatti con i metodi esposti.
Per capire se utilizzabili o meno.
Si, tutto lecito, se motivato a dovere.
D’altra parte se cambi variabile scompaiono tutti i problemi.
Lo stesso nel limite modificato.
D’altra parte se cambi variabile scompaiono tutti i problemi.
Lo stesso nel limite modificato.
Per il dubbio secondo mi pare di aver capito, infatti se ponessi $t=-x$ avrei
$lim_(t->∞) -(e^t/t)$ che è il confronto di infiniti di cui parlavo prima: $e^t/t$
Spero di aver capito in modo corretto la tua spiegazion e di non aver fatto errori
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Però il primo dubbio non riesco a capirlo, nel senso il passaggio incriminato è questo che segue:
$lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)= lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)$ per eq. asintotica
e poi la parte $lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)=lim_(x->-∞) -e^(-x)/x=lim_(t->∞) -(e^t/t)=-∞$ è semplice con la sostituzione che hai suggerito
Il fatto è che io ho disaccoppiato il limite svolgendo prima quello in parentesi e togliendomi le cose scomode e poi moltiplicando per e^-x. Ma fare il limite in due pezzi non dovrebbe essere sbagliato?
$lim_(t->∞) -(e^t/t)$ che è il confronto di infiniti di cui parlavo prima: $e^t/t$
Spero di aver capito in modo corretto la tua spiegazion e di non aver fatto errori
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Però il primo dubbio non riesco a capirlo, nel senso il passaggio incriminato è questo che segue:
$lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)= lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)$ per eq. asintotica
e poi la parte $lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)=lim_(x->-∞) -e^(-x)/x=lim_(t->∞) -(e^t/t)=-∞$ è semplice con la sostituzione che hai suggerito
Il fatto è che io ho disaccoppiato il limite svolgendo prima quello in parentesi e togliendomi le cose scomode e poi moltiplicando per e^-x. Ma fare il limite in due pezzi non dovrebbe essere sbagliato?
Stai usando il principio di sostituzione, tenendoti la parte principale di un infinito... Quindi perché dovrebbe essere un problema?
Perché mi pare un passaggio simile a questo
[passaggio errato]
$lim_(n->∞) (1+1/n)^n$ se svolgessi "a pezzi" avrei: $lim_(n->∞) (1+0)^n=1^n$ e a questo punto avrei $1^∞=1$
[/passagggio errato]
Non riesco a capire la differenza tra i due
Perdona la mia stupidità, te ne prego, ma devo proprio capirlo
Grazie mille ancora per la tua mano.
[passaggio errato]
$lim_(n->∞) (1+1/n)^n$ se svolgessi "a pezzi" avrei: $lim_(n->∞) (1+0)^n=1^n$ e a questo punto avrei $1^∞=1$
[/passagggio errato]
Non riesco a capire la differenza tra i due
Perdona la mia stupidità, te ne prego, ma devo proprio capirlo
Grazie mille ancora per la tua mano.
Leggiti l’enunciato del Principio di Sostituzione. Dovrebbe essere da qualche parte nel tuo libro.
Se mi ricordo bene dice che date 4 funzioni infinite(\esime) per x->c
con
$lim_(x->∞) (f(x)+g(x))/(h(x)+m(x))$
se g e m sono di ordine superiore (nelle infinitesime) vale
$lim_(x->∞) (f(x))/(h(x))$
Lo chiama di eliminazione, sempre se non ricordo male.
Nelle infinite vale il principio simile, ma elimino quelle di ordine inferiore.
E a me nel passaggio
sembra di fare proprio la stessa cosa di
$lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)=im_(x->-∞) (-1+0)/(x)e^(-x)= lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)$
Ci ho davveror agionato prima di scrivervi, ma non afferro proprio la differenza
con
$lim_(x->∞) (f(x)+g(x))/(h(x)+m(x))$
se g e m sono di ordine superiore (nelle infinitesime) vale
$lim_(x->∞) (f(x))/(h(x))$
Lo chiama di eliminazione, sempre se non ricordo male.
Nelle infinite vale il principio simile, ma elimino quelle di ordine inferiore.
E a me nel passaggio
"vastità":
$lim_(n->∞) (1+1/n)^n$ se svolgessi "a pezzi" avrei: $lim_(n->∞) (1+0)^n=1^n$ e a questo punto avrei $1^∞=1$
sembra di fare proprio la stessa cosa di
$lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)=im_(x->-∞) (-1+0)/(x)e^(-x)= lim_(x->-∞) (-1/x)e^(-x)$
Ci ho davveror agionato prima di scrivervi, ma non afferro proprio la differenza
Nel limite di Nepero non hai una somma di infinit-i/-esimi, né un rapporto; la struttura è completamente diversa.
Quindi è qui l'errore che faccio, però certe volte vale anche per costanti infatti spesso si usa:
$lim_(x->∞) f(x+3)/x= lim_(x->∞) f(x)/x$ con f funzione qualsiasi.
E in questo caso "snobbo" proprio la costante
$lim_(x->∞) f(x+3)/x= lim_(x->∞) f(x)/x$ con f funzione qualsiasi.
E in questo caso "snobbo" proprio la costante
Sì, ma la $f$ è "fissa"... Insomma, tra $(x+3)^4$ è una funzione composta del tipo $f(x+3)$, ma $(x+3)^x$ non lo è (difatti $(x+3)^x=e^(x log(x+3))$!).
Forse ho capito, ricapitolando le idee..
Anche questa non è $f(x+1)$: $lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)$ (invero al pari di $(x+3)^x$)
Però in questo caso posso semplificarmi la vita perché applico il principio di eliminazione per giungere a $lim_(x→−∞) (−1+0)/xe^(−x)$
mentre qui di seguito non sto usando il principio di eliminazione ma la così detta algebra estesa degli infiniti(/esimi) nel passaggio che svolgo, e non posso farlo proprio perché non è del tipo f(x+1)
Ci siamo ora?
Spero
Anche questa non è $f(x+1)$: $lim_(x->-∞) (-1+2/x)/(x+1)e^(-x)$ (invero al pari di $(x+3)^x$)
Però in questo caso posso semplificarmi la vita perché applico il principio di eliminazione per giungere a $lim_(x→−∞) (−1+0)/xe^(−x)$
mentre qui di seguito non sto usando il principio di eliminazione ma la così detta algebra estesa degli infiniti(/esimi) nel passaggio che svolgo, e non posso farlo proprio perché non è del tipo f(x+1)
[passaggio errato]
$lim_(n->∞) (1+1/n)^n$ se svolgessi "a pezzi" avrei: $lim_(n->∞) (1+0)^n=1^n$ e a questo punto avrei $1^∞=1$
[/passagggio errato]
Ci siamo ora?
Spero
il limite che hai proposto è un esempio di limite di due funzioni (quella con la e elevata a meno x) e quella iniziale di cui tu hai svolto il limite effettivamente ''disaccoppiandolo'' che vanno a moltiplicarsi. Ora l'algebra dei limiti ti dice che fare il limite di due funzioni nella variabile x che vanno a moltiplicarsi è uguale a fare il prodotto dei due limiti separati (ovviamente se esistono).Per il limite con il numero di nepero,invece, non mi pare si veda il prodotto di due funzioni, ma una funzione unica, il che ti dice che non puoi applicare affatto l'algebra dei limiti.Ovviamente l'algebra dei limiti può essere applicata se restiamo in ambiti di ''algebra classica''. Scusa se non ti rispondo con la formula precisa, ma sono nuovo nel forum e sto imparando come usare il software di digitazione..Spero di esserti stato d'aiuto..
poi 1 elevato ad infinito è una forma indeterminata, ne conosco una dimostrazione,ma in due variabili... ho riletto ora il messaggio che hai scritto, esatto la funzione con il numero di nepero è del tipo f(x) elevato a g(x), il che non ha niente a che fare con l'algebra dei limiti
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