Cercasi soluzione esercizio esame analisi 1

[rinaldo901]

ciao a tutti...
c'è un esercio che vorrei proporvi..

$ lim_(x -> +oo ) (x*(int_((x)^(2) )^(+oo ) 1/(sqrt(1+(x)^(3))))) $

C'era da dimostrare che esiste e bisognava calcolarlo..
non riesco a trovare il verso di farlo...era nel mio esame di analisi 1...
grazie a tutti..

[regim]

L'integrando è una funzione strettamente decrescente tendente a zero, quindi puoi applicare il criterio integrale e vedi così che l'integrale improprio converge, perchè converge la serie i cui termini sono questi $1/sqrt(1+n^3)$.
A questo punto puoi applicare de l'hopital, l'estremo inferiore di integrazione è proprio $x^2$ perchè, altrimenti, il limite verrebbe infinito, invece così viene $2$.

[@melia]

Siccome $1+x^3$ è compreso tra $x^3<=1+x^3<=(1+x)^3$ e, se non ho sbagliato i calcoli, entrambi i limiti valgono 2, cioè
$ lim_(x -> +oo ) x*(int_((x)^(2) )^(+oo ) 1/(sqrt((1+x)^(3))))=2 $ e
$ lim_(x -> +oo ) x*(int_((x)^(2) )^(+oo ) 1/(sqrt(x^(3))))=2 $
Per il teorema del confronto anche il limite cercato vale 2

[rinaldo901]

grazie mille ad entrambi!!