Cercasi risoluzione alternativa per integrale con radicale
Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente integrale:
\(\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} dx \)
Una soluzione che ho trovato, piuttosto macchinosa, è quella di procedere per sostituzione come segue:
\(\displaystyle t - x := \sqrt{1+x^2} \)
Infatti, quadrando ambo i membri tale relazione ed effettuando alcuni calcoli algebrici di base, si ottiene:
\(\displaystyle x = \frac{t^2-1}{2t} \)
Sostituendo poi nell'integrale tutto fila abbastanza liscio, ma come dicevo è molto noioso a livello di calcoli.
Per caso qualcuno è a conoscenza di una maniera alternativa di risolvere?
Vi ringrazio molto!
\(\displaystyle \int \sqrt{1+x^2} dx \)
Una soluzione che ho trovato, piuttosto macchinosa, è quella di procedere per sostituzione come segue:
\(\displaystyle t - x := \sqrt{1+x^2} \)
Infatti, quadrando ambo i membri tale relazione ed effettuando alcuni calcoli algebrici di base, si ottiene:
\(\displaystyle x = \frac{t^2-1}{2t} \)
Sostituendo poi nell'integrale tutto fila abbastanza liscio, ma come dicevo è molto noioso a livello di calcoli.
Per caso qualcuno è a conoscenza di una maniera alternativa di risolvere?
Vi ringrazio molto!
Risposte
Se conosci le funzioni iperboliche, puoi porre $x=\sinh t$. Altrimenti, puoi porre $x=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$ (è del tutto equivalente, il membro di destra dell'ultima uguaglianza è proprio la definizione di seno iperbolico).
Grazie mille a tutti per le risposte.
Funzioni iperboliche ftw!
Funzioni iperboliche ftw!
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