Cercasi la f^{-1}
se abbiamo la funzione [tex]f(x)=x+\int_{0}^{x}\cfrac{1}{1+e^{f(t)}}dt[/tex], cerchiamo la [tex]f^{-1}(x)[/tex]
buon anno con salute e nuovi problemi di matematica
buon anno con salute e nuovi problemi di matematica
Risposte
BUON ANNO A TUTTI.
Rigel grazie della risposta .Un po piu analizata la risposta ?
dennys
Rigel grazie della risposta .Un po piu analizata la risposta ?
dennys
Buongiorno e buon anno.
I problemi vengono anche senza la matematica, purtroppo.
A me viene un risultato diverso da Rigel (siccome non ne sono sicuro, dove sbaglio ?)
I problemi vengono anche senza la matematica, purtroppo.
A me viene un risultato diverso da Rigel (siccome non ne sono sicuro, dove sbaglio ?)
@quinzio:
forse ci vedo male io, ma il tuo risultato sembra identico al mio...
Al di là dei calcoli formali che fanno uso del teorema di derivazione della funzione inversa, l'unica cosa da accertare preliminarmente è che tale teorema possa essere utilizzato.
Se siamo in ipotesi di continuità di \(f\), dalla relazione integrale segue subito che \(f\) è di classe \(C^1\) e che
\[
1 < f'(x) < 2\qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\]
Questo implica, in particolare, che \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è una funzione biiettiva, dunque ammette inversa \(f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\); tale funzione inversa è derivabile (dal momento che \(f'(x)\neq 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\)) e la sua derivata può essere calcolata, in buona sostanza, come ha fatto quinzio.
forse ci vedo male io, ma il tuo risultato sembra identico al mio...
Al di là dei calcoli formali che fanno uso del teorema di derivazione della funzione inversa, l'unica cosa da accertare preliminarmente è che tale teorema possa essere utilizzato.
Se siamo in ipotesi di continuità di \(f\), dalla relazione integrale segue subito che \(f\) è di classe \(C^1\) e che
\[
1 < f'(x) < 2\qquad \forall x\in\mathbb{R}.
\]
Questo implica, in particolare, che \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) è una funzione biiettiva, dunque ammette inversa \(f^{-1}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\); tale funzione inversa è derivabile (dal momento che \(f'(x)\neq 0\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\)) e la sua derivata può essere calcolata, in buona sostanza, come ha fatto quinzio.
Grazie Quinzio e Rigel , buon anno
Dennys
Dennys
Buon anno a tutti
Grazie a Rigel e Quinzio .La inversa e proprio questa .
Adesso un altro molto bello (per me) .
Dimostrare che [tex]f(x)=ln(\sqrt{3e^{2x}+1}-1)[/tex]
dionisio
Grazie a Rigel e Quinzio .La inversa e proprio questa .
Adesso un altro molto bello (per me) .
Dimostrare che [tex]f(x)=ln(\sqrt{3e^{2x}+1}-1)[/tex]
dionisio
ciao a tutti
In pratica cerchiamo la fuinzione senza l'integrale
In pratica cerchiamo la fuinzione senza l'integrale
Derivando si ha
$$f'=1+\frac{1}{1+e^f}=\frac{2+e^f}{1+e^f}$$
Posto allora $e^f+1=y$ si ricava
$$\frac{y'}{y-1}=\frac{1+y}{y}\ \Rightarrow\ yy'=y^2-1$$
Ponendo ancora $z=y^2$ si ricava
$$z'=2z-2\ \Rightarrow\ z(x)=1+c e^{2x}$$
D'altra parte: $f(0)=0\ \Rightarrow\ y(0)=2\ \Rightarrow\ z(0)=4$ e quindi
$$z(x)=1+3e^{2x}$$
Infine, procedendo a ritroso e osservando che la $y(x)$ deve essere positiva
$$y(x)=\sqrt{3e^{2x}+1}\ \Rightarrow\ f(x)=\log(\sqrt{3e^{2x}+1}-1)$$
$$f'=1+\frac{1}{1+e^f}=\frac{2+e^f}{1+e^f}$$
Posto allora $e^f+1=y$ si ricava
$$\frac{y'}{y-1}=\frac{1+y}{y}\ \Rightarrow\ yy'=y^2-1$$
Ponendo ancora $z=y^2$ si ricava
$$z'=2z-2\ \Rightarrow\ z(x)=1+c e^{2x}$$
D'altra parte: $f(0)=0\ \Rightarrow\ y(0)=2\ \Rightarrow\ z(0)=4$ e quindi
$$z(x)=1+3e^{2x}$$
Infine, procedendo a ritroso e osservando che la $y(x)$ deve essere positiva
$$y(x)=\sqrt{3e^{2x}+1}\ \Rightarrow\ f(x)=\log(\sqrt{3e^{2x}+1}-1)$$
Grazie Ciampax , buon anno con salute e tanta felicita.
Dionisio
Dionisio
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