Cercasi controesempio
Sto cercando una funzione in una variabile, derivabile in un punto, con derivata diversa da zero e localmente NON monotona. Leggo che deve esistere, ma non riesco ad inventarla ne' ad immaginarla.
grazie
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Risposte
Mi sa che non esiste controesempio. Sussiste il seguente teorema:
Però è possibile fornire esempi di funzioni strettamente crescenti, derivabili quasi dappertutto ed aventi derivata quasi ovunque $=0$ (ad esempio la funzione di Vitali sull'insieme di Cantor in $[0,1]$).
__________
* Con $f$ dotata di derivata in $x_0$ intendo dire semplicemente che il limite $\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ esiste (e se tale limite esiste finito dico che $f$ è derivabile in $x_0$).
Se $f:I\to RR$ è dotata di derivata in $x_0\in I$* ($I$ aperto in $RR$) e se $f'(x_0)>0$ [risp. $<0$], allore esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ è strettamente crescente [risp decrescente].
Però è possibile fornire esempi di funzioni strettamente crescenti, derivabili quasi dappertutto ed aventi derivata quasi ovunque $=0$ (ad esempio la funzione di Vitali sull'insieme di Cantor in $[0,1]$).
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* Con $f$ dotata di derivata in $x_0$ intendo dire semplicemente che il limite $\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ esiste (e se tale limite esiste finito dico che $f$ è derivabile in $x_0$).
"Gugo82":
Mi sa che non esiste controesempio. Sussiste il seguente teorema:
Se $f:I\to RR$ è dotata di derivata in $x_0\in I$* ($I$ aperto in $RR$) e se $f'(x_0)>0$ [risp. $<0$], allore esiste un intorno di $x_0$ in cui $f$ è strettamente crescente [risp decrescente].
Però è possibile fornire esempi di funzioni strettamente crescenti, derivabili quasi dappertutto ed aventi derivata quasi ovunque $=0$ (ad esempio la funzione di Vitali sull'insieme di Cantor in $[0,1]$).
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* Con $f$ dotata di derivata in $x_0$ intendo dire semplicemente che il limite $\lim_(h\to 0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h$ esiste (e se tale limite esiste finito dico che $f$ è derivabile in $x_0$).
Gugo82, questo "teorema" non esiste. Tu parli di "crescenza (e decrescenza) in un punto" (bleah!).
Vedi:
https://www.matematicamente.it/forum/enu ... html#78572
Ma la derivata prima positiva in un punto NON implica che la funzione sia strettamente crescente in un intorno di quel punto. L'implicazione è banalmente vera se la funzione ha derivata prima continua in quel punto, ma con la sola derivabilità non ci si riesce e ci sono controesempi ottenuti mettendo assieme "bene" x e sin(1/x), con opportune potenze. Mi pare vada bene la f che si trova qui: http://www.batmath.it/matematica/a_derivate/locali.htm
Dovrebbe andare bene $f(x)=x+2x^2\sin(1/x)$ (magari e' quella del link - ma non ho voglia di controllare ....).
L'idea e' di aggiungere a $x$ una funzione derivabile, con derivata zero nell'origine, ma "sufficientemente oscillante".
Facendo i conti si vede che $f'(0)=1$. Pero' se $x_n=(\pi/2+2(n+1)\pi)^{-1}$ e $y_n=(3\pi/2+2n\pi)^{-1}$ viene
$x_n
Ora $x_n-y_n\sim -\frac{1}{4\pi n^2}$ mentre $2x_n^2+2y_n^2\sim\frac{1}{\pi^2n^2}$.
Dato che $\frac{1}{4\pi}<\frac{1}{\pi^2}$, allora quando $n\to\infty$ (e quindi $x_n\to0$ e $y_n\to0$) risulta $f(x_n)>f(y_n)$.
Quindi, anche se e' vero che quando $x$ si allontana da zero verso destra (sinistra) $f(x)$ sale (scende)
rispetto a $f(0)=0$, pur tuttavia $f$ non e' crescente vicino a zero (nota che, come diceva il Cattivissimo,
$f'$ non e' continua in zero).
P.S: Forse prendendo $f(x)=x+x^a\sin(1/x)$ con $11$ si ha che $x^a\sin(1/x)$ continua ad
avere derivata zero nell'origine, e se $a<2$ ( con le stesse $x_n$ e $y_n$ ) $x_n-y_n$ tende a zero piu' velocemente di $x_n^2+y_n^2$.
SONO COSE COMPLICATE
L'idea e' di aggiungere a $x$ una funzione derivabile, con derivata zero nell'origine, ma "sufficientemente oscillante".
Facendo i conti si vede che $f'(0)=1$. Pero' se $x_n=(\pi/2+2(n+1)\pi)^{-1}$ e $y_n=(3\pi/2+2n\pi)^{-1}$ viene
$x_n
Ora $x_n-y_n\sim -\frac{1}{4\pi n^2}$ mentre $2x_n^2+2y_n^2\sim\frac{1}{\pi^2n^2}$.
Dato che $\frac{1}{4\pi}<\frac{1}{\pi^2}$, allora quando $n\to\infty$ (e quindi $x_n\to0$ e $y_n\to0$) risulta $f(x_n)>f(y_n)$.
Quindi, anche se e' vero che quando $x$ si allontana da zero verso destra (sinistra) $f(x)$ sale (scende)
rispetto a $f(0)=0$, pur tuttavia $f$ non e' crescente vicino a zero (nota che, come diceva il Cattivissimo,
$f'$ non e' continua in zero).
P.S: Forse prendendo $f(x)=x+x^a\sin(1/x)$ con $1
avere derivata zero nell'origine, e se $a<2$ ( con le stesse $x_n$ e $y_n$ ) $x_n-y_n$ tende a zero piu' velocemente di $x_n^2+y_n^2$.
SONO COSE COMPLICATE
"ViciousGoblinEnters":
come diceva il Cattivissimo
wow! Da aggettivo a nome proprio! Sto facendo carriera
non ho molto chiaro Vicious come provi che la f è crescente "puntualmente" ma non localmente. In ogni caso la prima f del link di Fioravante http://www.batmath.it/matematica/a_derivate/locali.htm mi soddisfa. grazie
no, scusa vicious. ora ci sono! non è localmente crescente perchè oscilla in ogni intorno dell origine
Sì, effettivamente ho fatto confusione tra la "monotonia rispetto ad un punto" e la "monotonia" (vera e propria)... Sono troppo incasinato in questi giorni!
Scusa ralf86 e grazie a FP per avermi fatto notare l'errore.
Scusa ralf86 e grazie a FP per avermi fatto notare l'errore.
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