C.E. radice cubica
Salve gente 
Continuo a chiedermi come mai alcuni attribuiscono $RR^+\cup \{0\}$ come campo di esistenza alla funzione $x^{1/3}$ (in generale $x^{1/n}$, con $n\in NN$ dispari); mi pare evidente che tale operazione ha invece senso per ogni $x$ reale.
Ovviamente la mia domanda scaturisce dall'aver appreso che questa "teoria/convinzione" (non saprei come definirla) è propria anche di alcuni docenti universitari; e.g. la mia prof. di matematica del liceo mi racconta che all'esame di analisi fu bocciato un suo collega per aver affermato che il campo d'esistenza della radice cubica di $x$ fosse $RR$.
BOH! Ciao e grazie in anticipo
EDIT: per evitare incomprensioni: parliamo della radice aritmetica, funzione inversa di $f:RR\to RR$, $x\mapsto x^3$
Continuo a chiedermi come mai alcuni attribuiscono $RR^+\cup \{0\}$ come campo di esistenza alla funzione $x^{1/3}$ (in generale $x^{1/n}$, con $n\in NN$ dispari); mi pare evidente che tale operazione ha invece senso per ogni $x$ reale.
Ovviamente la mia domanda scaturisce dall'aver appreso che questa "teoria/convinzione" (non saprei come definirla) è propria anche di alcuni docenti universitari; e.g. la mia prof. di matematica del liceo mi racconta che all'esame di analisi fu bocciato un suo collega per aver affermato che il campo d'esistenza della radice cubica di $x$ fosse $RR$.
BOH! Ciao e grazie in anticipo
EDIT: per evitare incomprensioni: parliamo della radice aritmetica, funzione inversa di $f:RR\to RR$, $x\mapsto x^3$
Risposte
Non capisco! Il C.E. di quella funzione è $RR$ perchè non potremmo calcolare la radice terza di meno uno? Non capisco!
Mah :S! a me al liceo avevano insegnato che il campo di esistenza della radice cubica fosse $RR$ senza eccezioni! infatti se prendi un numero reale (positivo o negativo) e ne fai la radice cubica questa esiste sempre. In zero a maggior ragione! Aspetta che qualcuno più esperto di me posti qualcosa.
EDIT: Ops! Scusa Mr non ho letto il tuo post XD
EDIT: Ops! Scusa Mr non ho letto il tuo post XD
"paolotesla91":
Mah :S! a me al liceo avevano insegnato che il campo di esistenza della radice cubica fosse $RR$ senza eccezioni!
Ma infatti
la prof. mi raccontava quell'episodio indignata, e tutt'ora non se lo spiega...ovviamente è una cosa che mi è capitato di sentire piu volte, non solo da lei.. Mah
E' solo una questione di definizione.
Se si definisce, per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(x^{\alpha} := \exp(\alpha\log x)\), allora tale funzione è definita solo per \(x>0\) (ed è eventualmente estendibile con continuità in \(x=0\) se \(\alpha > 0\)).
Nel caso \(\alpha = 1/n\), con \(n\) intero positivo dispari, si può definire \( x^{1/n}\) come funzione inversa della funzione biiettiva \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita da \(f(t) = t^n\); in tal caso, essa è definita su tutto \(\mathbb{R}\).
Se si definisce, per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\), \(x^{\alpha} := \exp(\alpha\log x)\), allora tale funzione è definita solo per \(x>0\) (ed è eventualmente estendibile con continuità in \(x=0\) se \(\alpha > 0\)).
Nel caso \(\alpha = 1/n\), con \(n\) intero positivo dispari, si può definire \( x^{1/n}\) come funzione inversa della funzione biiettiva \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definita da \(f(t) = t^n\); in tal caso, essa è definita su tutto \(\mathbb{R}\).
wow! non conoscevo questa definizione, ne ci sarei arrivato. @Rigel: dunque quale sarebbe quella corretta?
Sono corrette entrambe, basta mettersi d'accordo su quale usare 
Si! Ma una delle due deve essere più precisa, secondo me la seconda lo è.
Grazie mille Rigel ho capito l' "inghippo"!
Personalmente, trovo inutile e poco operativa la prima definizione, salvo che non si tratti di un $\alpha \in RR\setminus QQ$.
ho capito l' "inghippo"! Personalmente, trovo inutile e poco operativa la prima definizione, salvo che non si tratti di un $\alpha \in RR\setminus QQ$.
"paolotesla91":
Si! Ma una delle due deve essere più precisa, secondo me la seconda lo è.
E perché ? E' pieno di cose che si definiscono in tanti modi diversi. Tu come lo definisci il logaritmo? La funzione esponenziale? Seno e coseno? Prova a rispondere: io sono sicuro che non saremo d'accordo almeno su una definizione.
"Plepp":Non farti sentire da Maple, Mathematica, Wolfram Alpha, Derive e dagli altri software di calcolo simbolico che adesso non mi vengono in mente!!! Loro non la pensano come te, tanto è vero che usano proprio quella come definizione. Ecco il motivo per cui se provi a chiedergli la radice terza di \(-1\) se ne usciranno con un numero complesso.
trovo inutile e poco operativa la prima definizione
"dissonance":
Non farti sentire da Maple, Mathematica, Wolfram Alpha, Derive e dagli altri software di calcolo simbolico che adesso non mi vengono in mente!!! Loro non la pensano come te, tanto è vero che usano proprio quella come definizione. Ecco il motivo per cui se provi a chiedergli la radice terza di \(-1\) se ne usciranno con un numero complesso.
Si dissonace, me ne sono accorto
evabè...
"Plepp":
[quote="paolotesla91"]Mah :S! a me al liceo avevano insegnato che il campo di esistenza della radice cubica fosse $RR$ senza eccezioni!
Ma infatti
la prof. mi raccontava quell'episodio indignata, e tutt'ora non se lo spiega...ovviamente è una cosa che mi è capitato di sentire piu volte, non solo da lei.. Mah[/quote]Indignata? Sono indignato io che qualcuno s'indigni per queste cose.Che Rigel e dissonance hanno già spiegato per bene. E l'ultimo è uno studente (bravino)
Quanto al fatto che "tutt'ora non se lo spieghi", se incrociasse gugo82 magari farebbe una scoperta: ci sono i libri. E si possono pure leggere!
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