$CC$ non è ordinabile...?

[Gaal Dornick]

Ho provato a cercare discussioni già fatte su questo argomento ma non ne ho trovate...non avrò cercato bene.

"Wikipedia":Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che
$a0 \Rightarrow as $ abs, $
$a come avviene con i numeri reali.

Mi piacerebbe avere una dimostrazione di questa: provando a farla da solo, mi domando: è necessario cambiare il verso della disuguaglianza se moltiplico per un elemento positivo? Sicuramente si, se voglio estendere la relazione d'ordine dei reali.
Ma immagino che il teorema abbia una portata più grande.. e cioè che non esista alcun ordinamento compatibile.
Come lo dimostro?

[gugo82]

Partiamo da alcuni fatti generali.
Se un anello $(A,+,*)$ è ordinato con una relazione d'ordine totale $le$ compatibile con le operazioni, allora per la Regola dei Segni ogni quadrato di un termine non nullo è positivo; se $A$ è unitario, essendo $1_A=1_A^2$, l'unità di $A$ è positiva ed il suo opposto $-1_A$ è negativo.

Ora, supponiamo che $CC$ sia ordinabile con una relazione d'ordine $le$ totale compatibile con le operazioni: avremmo $-1<0$ e però pure $-1=i^2>0$, il che è assurdo.

Ne consegue che $CC$ non è totalmente ordinabile compatibilmente con le operazioni di addizione e moltiplicazione della sua struttura naturale di campo.

[Gaal Dornick]

Perfetto, mi manca soltanto una dimostrazione della Regola dei Segni..

[nirvana2]

È per questo (credo) che si arrivano a paradossi tipo: $1=sqrt((-1)*(-1))=sqrt(-1)*sqrt(-1)=i*i=i^2=-1$

[gugo82]

"Gaal Dornick":Perfetto, mi manca soltanto una dimostrazione della Regola dei Segni.

In realtà puoi anche fare a meno della Regola dei Segni ed applicare la compatibilità con le operazioni: infatti, se $a>0$, allora $a^2=a*a>a*0=0$; d'altra parte, se $a<0$, allora $-a>0$ (infatti $a<0 => a-a<-a => 0<-a$) e risulta per quanto provato in precedenza $a^2=(-a)*(-a)>0$.

Per quanto riguarda la Regola dei Segni essa si può dimostrare facilmente a partire dalla compatibilità della relazione d'ordine con l'operazione di moltiplicazione.

[Gaal Dornick]

Grazie mille. Anche e soprattutto per avermi fatto tutti i passaggi.