[CAUCHY]Eq. differenziale 2 ordine

[DigYourOwnHole]

$ { ( y''(x)+y(x)=10e^(-x) ),( y(0)=6 ),( y'(0)=-5 ):} $

Parto nel risolvere l'equazione in C:
$ x^2+1=0 $
$ x=0+-1i $
Quindi mi ritrovo l'equazione "iniziale":
$ Y0(x)=C1cos(x)+C2sin(x) $
Cerco la soluzione particolare:
$ Yp(x)=C1y1(x)+C2y2(x) $
$ Yp(x)=C1cos(x)+C2sin(x) $
Utilizzo il metodo della variazione...
$ C1'(x)=-10e^-xsin(x) $
$ C2'(x)=10e^-xcos(x) $

Credo di aver sbagliato perché mi vengono fuori integrali che non so come risolvere

[gugo82]

Beh, sono integrali che si svolgono canonicamente per parti... Non vedo la difficoltà.

Ad ogni modo, il metodo di somiglianza ti suggerisce che basta cercare la soluzione particolare del tipo \(y_p(x) =A\ e^{-x}\), in cui \(A\) è una costante da determnare imponendo che \(y_p(x)\) sia una soluzione della EDO.

[DigYourOwnHole]

"gugo82":Beh, sono integrali che si svolgono canonicamente per parti... Non vedo la difficoltà.

Ad ogni modo, il metodo di somiglianza ti suggerisce che basta cercare la soluzione particolare del tipo \(y_p(x) =A\ e^{-x}\), in cui \(A\) è una costante da determnare imponendo che \(y_p(x)\) sia una soluzione della EDO.

Ciao, ho provato a sviluppare per parti ma la difficoltà sta nel fatto che non riesco a far sparire la moltiplicazione...
$ 10int-e^-xsin(x)=10[e^-xsinx]-10inte^-x(-cos(x))=10e^-xsinx+10inte^-xcosx=10e^-xsinx+10[e^-xsinx]-10int-e^-xsinx $

Per il "metodo di somiglianza" non ne so molto, ho sempre e solo utilizzato il metodo delle variaz... Provo a cercare qualcosa

[axpgn]

Non me ne intendo molto ma se tu uguagli l'ultimo membro che hai scritto al primo ti ritrovi con lo stesso integrale da ambo le parti, lo sposti a sinistra, si raddoppia e a sto punto basta dividere per 20 la parte di destra e l'hai risolto ... prova

Cordialmente, Alex

[DigYourOwnHole]

"axpgn":Non me ne intendo molto ma se tu uguagli l'ultimo membro che hai scritto al primo ti ritrovi con lo stesso integrale da ambo le parti, lo sposti a sinistra, si raddoppia e a sto punto basta dividere per 20 la parte di destra e l'hai risolto ... prova

Cordialmente, Alex

Giusto giusto, naggia, avevo dimenticato totalmente gli integrali ciclici