Cauchy strano.
Ho fatto da poco le differenziali a coefficienti costanti e mi sono imbattuto in questa:
$y'' + alpha^2y = 0$
$y'(0) = y'(2pi) = 0$
Con $alpha$ reale maggiore strettamente di zero.
L'ho risolta un pò a istinto, infatti vi devo chiedere conferma del risultato...
Allora:
$y = e^(rx)$, quindi
$r^2e^(rx) + alpha^2e^(rx) = e^(rx)(r^2 + alpha^2)$
A questo punto si calcola facilmente y:
$y = C_1cos(alphax) + iC_2sen(alphax)$
Derivando
$y' = -alphaC_1sen(alphax) + ialphaC_2cos(alphax)
Ponendo $x = 0$ otteniamo che
$0 = ialphaC_2
Da cui avendo $alpha > 0$ otteniamo $C_2= 0$.
A questo punto consideriamo che
$y' = -alphaC_1sen(alphax)$
Per $x = 2pi$ e $sen(alphax) = k$ se $alpha$ non è multiplo di $1/2$ e quindi $k!=0$ si ha che
$0 = -alphakC_1
Quindi anche $C_1 = 0$ e la soluzione è $y = 0$.... ok?
$y'' + alpha^2y = 0$
$y'(0) = y'(2pi) = 0$
Con $alpha$ reale maggiore strettamente di zero.
L'ho risolta un pò a istinto, infatti vi devo chiedere conferma del risultato...
Allora:
$y = e^(rx)$, quindi
$r^2e^(rx) + alpha^2e^(rx) = e^(rx)(r^2 + alpha^2)$
A questo punto si calcola facilmente y:
$y = C_1cos(alphax) + iC_2sen(alphax)$
Derivando
$y' = -alphaC_1sen(alphax) + ialphaC_2cos(alphax)
Ponendo $x = 0$ otteniamo che
$0 = ialphaC_2
Da cui avendo $alpha > 0$ otteniamo $C_2= 0$.
A questo punto consideriamo che
$y' = -alphaC_1sen(alphax)$
Per $x = 2pi$ e $sen(alphax) = k$ se $alpha$ non è multiplo di $1/2$ e quindi $k!=0$ si ha che
$0 = -alphakC_1
Quindi anche $C_1 = 0$ e la soluzione è $y = 0$.... ok?
Risposte
Ah scusate fatemi aggiungere che se $alpha$ è multiplo di $1/2$ abbiamo che tutte le soluzioni sono
$y = C_1cos(n/2x)
con $C_1$ costante reale e n intero maggiore di zero.
$y = C_1cos(n/2x)
con $C_1$ costante reale e n intero maggiore di zero.
direi che è ok, ricordati che in problemi di questo tipo l'unicità non affatto garantita in generale ...
"amel":
direi che è ok, ricordati che in problemi di questo tipo l'unicità non affatto garantita in generale ...
Il mio maggior dubbio più che sull'unicità è sul procedimento... grazie comunque della conferma.
L'equazione caratteristica associata è :
$lambda^2 +alpha^2 = 0 $
che ha soluzioni : $ lambda _1 = i*alpha , lambda_2 = -i*alpha $
E' facile vedere tramite le formule di Eulero che una comoda combinazione lineare delle 2 soluzioni :
$e^(i*alpha*x); e^(-i*alpha*x) $ è la seguente :
$ y(x) = Acos(alpha*x) +Bsin(alpha*x) $ che è la soluzione generale della eq. differenziale omogenea.
Per risolvere il problema di Cauchy vanno determinate le costanti A, B .
Si ha :$ y' = -A*alpha*sin(alpha*x) +B*alpha*cos(alpha*x) $
e quindi : $ y'(0) = B*alpha = 0 $da cui $B = 0 $
$y'(2*pi) = B*alpha = 0 $ ; se $alpha = k/2 $ allora la soluzione è : $ y = A cos(alpha*x) $
se invece $ alpha ne k/2$ allora la soluzione è $ y = 0 $ .
$lambda^2 +alpha^2 = 0 $
che ha soluzioni : $ lambda _1 = i*alpha , lambda_2 = -i*alpha $
E' facile vedere tramite le formule di Eulero che una comoda combinazione lineare delle 2 soluzioni :
$e^(i*alpha*x); e^(-i*alpha*x) $ è la seguente :
$ y(x) = Acos(alpha*x) +Bsin(alpha*x) $ che è la soluzione generale della eq. differenziale omogenea.
Per risolvere il problema di Cauchy vanno determinate le costanti A, B .
Si ha :$ y' = -A*alpha*sin(alpha*x) +B*alpha*cos(alpha*x) $
e quindi : $ y'(0) = B*alpha = 0 $da cui $B = 0 $
$y'(2*pi) = B*alpha = 0 $ ; se $alpha = k/2 $ allora la soluzione è : $ y = A cos(alpha*x) $
se invece $ alpha ne k/2$ allora la soluzione è $ y = 0 $ .
Il metodo è praticamente il mio, ma perchè non hai ricavato anche A? Sennò penso sarebbe stata inutile pure l'informazione aggiuntiva $y'(2pi) = 0$...
In pratica avevo ragione, grazie Camillo 
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