Cauchy? Non riesco a vedere la diversità!

[Tommy94]

Ciao a tutti,

sto ripassando un po' di analisi e mi sono imbattuto in un problema di cui non riesco a capire la differenza fra i due quesiti che vengono posti.
Lo trascrivo.

Siano $f,g : [-1,1] rarr RR$ definite da $f(x) = x^2 - x$ e $g(x) = x^2 + x$
Si dica, giustificando la risposta, se esiste $c in (-1,1)$ (non ho trovate le quadre al contrario ed ho usato le tonde per indicare l'esclusione degli estremi dell'intervallo) tale che

1) $g'(c)[f(1)-f(-1)] = f'(c)[g(1) - g(-1)]$

e se esiste $c in (-1,1)$ tale che

2) $(f(1) - f(-1)) / (g(1) - g(-1)) = (f'(c)) / (g'(c))$

al di là del fatto che nella 2) deve essere $g'(c) != 0$, non chiede la stessa cosa?
Dove sta la sottigliezza che mi sfugge?

Grazie fin d'ora a chi vorrà darmi una mano.

[ciampax]

Il teorema di Cauchy richiede che $g'(x)\ne 0$ per ogni $x\in(a,b)$ (nel tuo caso $x\in(-1,1)$). Come si vede facilmente $g'(x)=2x+1=0$ se e solo se $x=-1/2$, per cui le ipotesi del teorem non sono verificate. Ciononostante, la "condizione di Cauchy" (che puoi ricavare dal punto 1) è verificata. Questo perché il teorema di cauchy dice she se $f,g$ hanno certe proprieta allora vale "la formulletta", ma il viceversa non è vero.

[Tommy94]

in altre parole, il th. di Cauchy, non essendo rispettate le condizioni per la sua applicabilità, non mi garantisce nulla rispetto ad un punto che tuttavia la relazione 1) (quella che tu hai chiamato "condizione di Cauchy") mi consente di calcolare (x=0 se non sbaglio): ho capito bene?

[ciampax]

Esattamente. In sostanza la condizione di cauchy (o se vuoi la "formuletta" del teorema) puoi verificarla e questo a prescindere dal fatto che siano verificate tutte le condizioni. Cose simili accadono anche agli altri teoremi. Giusto per farti un esempio pratico: Rolle afferma che se $f(a)=f(b)$ allora esiste $c\in(a,b)$ per cui $f'(c)=0$. Ma è vero che se tu prendi una funzione per cui non è verificata la condizione agli estremi, e sai che ha un minimo (o massimo) comunque puoi affermare che c'è un punto $c$ in cui la derivta vale zero.