Cauchy: intervallo di definizione

^Tipper^1
Ho il seguente problema di Cauchy: (mi sono ricondotto a $y'=a(x)h(y)$, con $a(x)=1/(x+1)$ e $h(y)=(y+3)^2$

${(y'=(y+3)^2/(x+1)),(y(0)=0):}$

Devo trovare la soluzione massimale, specificandone l'intervallo di definizione.

La soluzione massimale penso sia $y(x)=(-9\ln|x+1|)/(3\ln|x+1|-1)$. Ho dei forti dubbi sull'intervallo di definzione.

Ho scritto che $y(x)=(-9\ln|x+1|)/(3\ln|x+1|-1)$ è definita in:

${(x> -1),(x!=-1+e^(1/3)):}$, ${(x<-1),(x!=-e^(1/3)-1):}$

Può darsi che l'intervallo di definzione sia $-1
Grazie.

Risposte
Camillo
Perchè il logaritmo nella soluzione ?

^Tipper^1
La soluzione costante è $y(x)=-3$.

Se $y!=-3 -> y'(x)/(y(x)+3)^2=1/(x+1)$. Integro: $-1/(y(x)+3)=ln|x+1|+c$

$-1/3=c -> -1/(y(x)+3)=ln|x+1|-1/3 -> y(x)=(-9\ln|x+1|)/(3\ln|x+1|-1)$

Luca.Lussardi
Forse $y=-3$...

Camillo
Avevo trascritto come $y' = (y+3)^2 *(x+1) $ :oops:

Camillo
Il Problema di Cauchy assegna il valore della funzione per $x=0 $, quindi nella soluzione considero il caso $x > -1 $ e di conseguenza $ |x+1 | = x+1.
La soluzione è allora $ y= -9ln(x+1)/(3ln(x+1)-1 ) $.
L'intervallo massimale deve includere lo $ 0 $ ma deve escludere valori che annullino il denominatore della soluzione cioè $x= e^(1/3)-1 $( circa $+0.39 $).
Lìintervallo massimale è quindi $( -1,e^(1/3)-1 ) $ .

^Tipper^1
Nel caso in cui cambio le condizioni iniziali ed ho $y(0)=-3$, $y(x)=0, AAx$ è soluzione ed è unica: è corretto?

Luca.Lussardi
$y(x)=0$ non soddisfa $y(0)=-3$...

^Tipper^1
Quindi il problema non ammette soluzioni?

Luca.Lussardi
Il problema che hai scritto ammette sempre una ed una sola soluzione massimale per ogni dato iniziale $y(0)=k$, e questo è il teorema di Cauchy.

^Tipper^1
$y(x)=-3 AAx$ è soluzione ed è unica. È coretto ora?
Grazie.

Luca.Lussardi
E' l'unica soluzione del problema con dato $y(0)=-3$.

^Tipper^1
Se io ho il problema

${(y'=(y-1)^2/(x+1)^3),(y(2)=2):}$

e trovo la soluzione $y(x)=(9+35(x+1)^2)/(9+17(x+1)^2)$, sebbene il dominio di soluzione sia $RR$, devo porre la limitazione $x>-1$, derivante dal fatto che $y'=(y-1)^2/(x+1)^3)$ non è definita in $-1$?

Grazie.

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