Cauchy-Goursat su curva aperta

[enrico96l]

Calcolare l'integrale curvilineo di \(\displaystyle f(z) = (z + 2) / z \) lungo la semicirconferenza superiore di centro \(\displaystyle 0 \) e raggio \(\displaystyle 2 \) percorsa in senso antiorario.
L'ho svolto calcolandolo normalmente (e il risultato e corretto), ma non riesco a capire perchè non potrei svolgerlo usando Cauchy-Goursat (aggiungendo cioè alla curva il segmento da \(\displaystyle -2 \) a \(\displaystyle 2 \) per chiuderla e continuando di conseguenza).
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà

[anonymous_0b37e9]

"grad90":
L'ho svolto calcolandolo normalmente ...

Presumo così:

$[f(z)=1+2/z] ^^ [z=2e^(i\theta)] rarr [\int_{0}^{\pi}2ie^(i\theta)(1+e^(-i\theta))d\theta=-4+2\pii]$

"grad90":
... ma non riesco a capire perchè non potrei svolgerlo usando Cauchy-Goursat ...

Per la presenza di un polo sul contorno, dovresti procedere nel modo seguente:

$lim_(r->0^+)[\int_{-2}^{-r}(1+2/x)dx+\int_{C_r}f(z)dz+\int_{r}^{2}(1+2/x)dx+\int_{C_2}f(z)dz]=0 rarr$

$rarr lim_(r->0^+)[[x+2ln|x|]_(-2)^(-r)-\piiRes[f(z),0]+[x+2ln|x|]_(r)^(2)+\int_{C_2}f(z)dz]=0 rarr$

$rarr lim_(r->0^+)[-r+2lnr+2-2ln2-2\pii+2+2ln2-r-2lnr+\int_{C_2}f(z)dz]=0 rarr$

$rarr lim_(r->0^+)[-2r+4-2\pii+\int_{C_2}f(z)dz]=0 rarr$

$rarr 4-2\pii+\int_{C_2}f(z)dz=0 rarr$

$rarr \int_{C_2}f(z)dz=-4+2\pii$

[enrico96l]

ah ecco, grazie, non avevo notato il polo sul contorno

[gugo82]

En passant, noto che l'integrale può essere calcolato usando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Infatti, dato che la curva $gamma$ è semplice e non si avvolge attorno allo $0$ e visto che la funzione $F(z):= z + 2\log z$ è una primitiva di $f(z)$, scegliendo la determinazione principale \(\operatorname{Log}\) del logaritmo complesso[nota]Il calcolo, ovviamente, funziona usando qualsiasi determinazione.[/nota] si ha:
\[
\begin{split}
\int_{+\gamma} f(z)\ \text{d}z &= F(-2) - F(2)\\
&= -2 +2\operatorname{Log}(-2) -\Big(2+2\operatorname{Log}2\Big)\\
&=-2+2\Big( \ln |-2| + \pi\ \mathbf{i}\Big) -2- 2\ln 2\\
&= -4+2\pi\ \mathbf{i} \; ,
\end{split}
\]
in cui $ln$ è il logaritmo neperiano reale.

[anonymous_0b37e9]

"gugo82":
En passant, noto che l'integrale può essere calcolato usando il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale ...

Senza dubbio il modo più elegante.