Cauchy Goursat e periodicità esponenziale complesso
Usando Cauchy Goursat mi esce chhe l'integrale è uguale a $2pii$. Moltiplicandolo per $1/2pii$ uscirebbe quindi 1.
Il fatto che il risultato sia 2 è dovuto al fatto che l'integrale ha periodicità $2pii$ e uindi su $4pi$ fa due giri?
Risposte
Il teorema di Cauchy, nella versione generalizzata, si riassume nell'uguaglianza:
\[
\frac{1}{2\pi\imath}\cdot \int_{+\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\ \text{d} z = f(z_0)\cdot \operatorname{n}(+\Gamma ; z_0)
\]
in cui \(\operatorname{n}(+\Gamma ; z_0)\) è il cosiddetto indice di avvolgimento (in senso antiorario) della curva \(+\Gamma\) attorno al punto \(z_0\).
Dato che nel tuo caso \(f(z)=1\) e che \(+\Gamma\) è la circonferenza con centro in \(z_0=0\) e raggio \(3\) percorsa in senso antiorario due volte, si ha \(f(z_0)=1\) e \(\operatorname{n}(+\Gamma ; z_0) =2\).
\[
\frac{1}{2\pi\imath}\cdot \int_{+\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\ \text{d} z = f(z_0)\cdot \operatorname{n}(+\Gamma ; z_0)
\]
in cui \(\operatorname{n}(+\Gamma ; z_0)\) è il cosiddetto indice di avvolgimento (in senso antiorario) della curva \(+\Gamma\) attorno al punto \(z_0\).
Dato che nel tuo caso \(f(z)=1\) e che \(+\Gamma\) è la circonferenza con centro in \(z_0=0\) e raggio \(3\) percorsa in senso antiorario due volte, si ha \(f(z_0)=1\) e \(\operatorname{n}(+\Gamma ; z_0) =2\).
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