Cauchy, generica soluzione?
\( y'(x) + (sinx) y = sinx \)
Ok ho risolto il tutto con la solita formulona, alla fine mi ritrovo:
$ y (x) = 1+C^(ecosx) $
solo che seguendo la gudia: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... xS_EDO.pdf
non mi è chiaro quando dice:
La generica soluzione è costante se e solo se $ y'(x) = 0 $ per ogni x ∈ R, cioè $ −c (sin x) ^(ecosx) = 0 $ per
ogni x ∈ R, il che significa $ c = 0 $ . Dunque l’equazione ha un’unica soluzione costante, data da $ y (x) = 1 $ per ogni x ∈ R.
Non riesco a capire da dove viene fuori che $ c=0 $
cioè si ho capito che hanno sostituito alla x lo 0 e quindi sin(0) manda tutto a zero, ma perché? 
Ok ho risolto il tutto con la solita formulona, alla fine mi ritrovo:
$ y (x) = 1+C^(ecosx) $
solo che seguendo la gudia: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... xS_EDO.pdf
non mi è chiaro quando dice:
La generica soluzione è costante se e solo se $ y'(x) = 0 $ per ogni x ∈ R, cioè $ −c (sin x) ^(ecosx) = 0 $ per
ogni x ∈ R, il che significa $ c = 0 $ . Dunque l’equazione ha un’unica soluzione costante, data da $ y (x) = 1 $ per ogni x ∈ R.
Non riesco a capire da dove viene fuori che $ c=0 $
cioè si ho capito che hanno sostituito alla x lo 0 e quindi sin(0) manda tutto a zero, ma perché?
Risposte
Ciao
per prima cosa vorrei farti notare che la soluzione che tu hai scritto non è corretta
la soluzione giusta è
$y=c e^(cos(x))$
il testo dell'esercizio ti chiedeva quando la soluzione $y$ è una costante.
Una funzione è costante quando la sua derivata è nulla quindi quando $y'=0$ per qualsiasi valore di $x$
avendo $y'=-c \cdot sin(x) \cdot e^(cos(x))$
perchè $y'$ sia sempre una costante per qualsiasi valore di $x$ obbligatoriamente $c$ deve essere $0$
applicandolo al'integrale trovato e non alla derivata, ti da come risultato
$y=1$
per prima cosa vorrei farti notare che la soluzione che tu hai scritto non è corretta
la soluzione giusta è
$y=c e^(cos(x))$
il testo dell'esercizio ti chiedeva quando la soluzione $y$ è una costante.
Una funzione è costante quando la sua derivata è nulla quindi quando $y'=0$ per qualsiasi valore di $x$
avendo $y'=-c \cdot sin(x) \cdot e^(cos(x))$
perchè $y'$ sia sempre una costante per qualsiasi valore di $x$ obbligatoriamente $c$ deve essere $0$
applicandolo al'integrale trovato e non alla derivata, ti da come risultato
$y=1$
"Summerwind78":
Ciao
per prima cosa vorrei farti notare che la soluzione che tu hai scritto non è corretta
la soluzione giusta è
$y=c e^(cos(x))$
il testo dell'esercizio ti chiedeva quando la soluzione $y$ è una costante.
Una funzione è costante quando la sua derivata è nulla quindi quando $y'=0$ per qualsiasi valore di $x$
avendo $y'=-c \cdot sin(x) \cdot e^(cos(x))$
perchè $y'$ sia sempre una costante per qualsiasi valore di $x$ obbligatoriamente $c$ deve essere $0$
applicandolo al'integrale trovato e non alla derivata, ti da come risultato
$y=1$
Ciao, ma la semplificazione $ e^(cos (x))*(e^(-cos (x))) $ dove l'hai fatta finire?
Escluso perché non ti esce fuori il +1 ho capito, grazie
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