Cauchy con equazione differenziale lineare del primo ordine
Ho questo problema di Cauchy:
${ ( y'= (xy)/(4-x^2 )+ 1/(4-x^2) ),( y(3)=0 ):}$.
Ho quindi una forma differenziale del tipo $y'=a(x)y +b(x)$ che risolvo con la formula $y= e^(A(x)) int b(x) e^(-A(x)) dx$.
Quindi ho:
$y= e^ (-1/2 ln |4-x^2| ) int 1/(4-x^2) e^ (1/2 ln |4-x^2| dx)$
che diventa:
$y= 1/sqrt (4-x^2) int 1/(4-x^2) sqrt (4-x^2) dx$,
che scrivendo il denominatore dell'integrale come $sqrt (4-x^2) sqrt (4-x^2)$ e semplificando con il numeratore diventa:
$y= 1/sqrt (4-x^2) int 1/sqrt (4-x^2) dx$
Infine:
$y= 1/sqrt (4-x^2) (arcsen x/2 +c)$.
Adesso andando a sostituire per Cauchy $3$ ad $x$ e $0$ ad $y$ , sotto la radice mi uscirebbe un segno negativo... come procedere? Inoltre mi sono accorto di un'altra cosa, cioè che Wolfram porta un risultato dell' equazione differenziale molto diverso dal mio, in cui compaiono i logaritmi. Inoltre, nel primo passaggio della soluzione, esso cambia segno a $4-x^2$ che diventa $x^2-4$ e non capisco il nesso. Grazie.
${ ( y'= (xy)/(4-x^2 )+ 1/(4-x^2) ),( y(3)=0 ):}$.
Ho quindi una forma differenziale del tipo $y'=a(x)y +b(x)$ che risolvo con la formula $y= e^(A(x)) int b(x) e^(-A(x)) dx$.
Quindi ho:
$y= e^ (-1/2 ln |4-x^2| ) int 1/(4-x^2) e^ (1/2 ln |4-x^2| dx)$
che diventa:
$y= 1/sqrt (4-x^2) int 1/(4-x^2) sqrt (4-x^2) dx$,
che scrivendo il denominatore dell'integrale come $sqrt (4-x^2) sqrt (4-x^2)$ e semplificando con il numeratore diventa:
$y= 1/sqrt (4-x^2) int 1/sqrt (4-x^2) dx$
Infine:
$y= 1/sqrt (4-x^2) (arcsen x/2 +c)$.
Adesso andando a sostituire per Cauchy $3$ ad $x$ e $0$ ad $y$ , sotto la radice mi uscirebbe un segno negativo... come procedere? Inoltre mi sono accorto di un'altra cosa, cioè che Wolfram porta un risultato dell' equazione differenziale molto diverso dal mio, in cui compaiono i logaritmi. Inoltre, nel primo passaggio della soluzione, esso cambia segno a $4-x^2$ che diventa $x^2-4$ e non capisco il nesso. Grazie.
Risposte
up
"TeM":
Dunque, dato il problema di Cauchy \[ \begin{cases} y'(x) + \frac{x}{x^2-4}\,y(x) = \frac{1}{4-x^2} \\ y(3) = 0 \end{cases}\,, \]
Perchè hai cambiato segno? é$x/(4-x^2)$ , non $ x/(x^2-4)$
Ah giusto, ma adesso per trovare la $c$ devo,come al solito, sostituire $3$ ad $x$ e $0$ ad $y$, oppure è già completo così il problema di Cauchy?
Posso postarti un'altra equazione differenziale simile e farti vedere come lo svolgo, perchè c'è un punto in cui forse non mi trovo
Posso postarti un'altra equazione differenziale simile e farti vedere come lo svolgo, perchè c'è un punto in cui forse non mi trovo
Sì, grazie ancora,ora lo scrivo un attimo, però intanto sapresti dirmi nella mia risoluzione iniziale dove integro indefinitamente dov'è che sbaglio?
Il PdC è il seguente:
${ ( y'+y/(x^2+1)=sqrt(x+1) ),( y'(0)=1 ):}$
$P(x):= int_0^x 1/(t^2-1)dt=int_0^x (A/(t+1)+B/(t-1)) dt$
$A/(t+1)+B/(t-1) => At-A+Bt+B=1 => { ( A+B=0 ),( -A+B=1 ):} => { ( A=-1/2 ),( B=1/2 ):}$ quindi:
$P(x):= -1/2int_0^x 1/(t+1) dt +1/2 int_0^x 1/(t-1)dt = [-1/2 ln|t+1|+1/2ln|t-1|]_0^x=[1/2ln|(t-1)/(t+1)|]_0^x=[lnsqrt|(t-1)/(t+1)|]_0^x=[lnsqrt|(x-1)/(x+1)|-0]$
quindi la mia soluzione sarà data da:
$y(x)=e^(-lnsqrt|(x-1)/(x+1)|)int_0^x (sqrt(s+1)e^lnsqrt|(s-1)/(s+1)|)ds$ $=>$
$y(x)=e^(lnsqrt|(x+1)/(x-1)|) int_0^x sqrt(s+1)sqrt|(s-1)/(s+1)|ds =>$
Semplifico poi le due radici all'interno dell'integrale ma una ha il valore assoluto e un'altra no, posso farlo?
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)|int_0^x sqrt|s-1| ds =>$
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)| int_0^x |s-1|^(1/2) ds =>$
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|s-1|^(3/2)]_0^x =>$
$y(x) =sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|x-1|^(3/2)-2/3|-1|^(3/2)] =>$
$y(x) =sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|x-1|^(3/2)-2/3]$
dopo la semplificazione ho risolto l'integrale portando avanti il valore assoluto, nel modo scritto sopra, senza fare particolari considerazioni, è giusto farlo come l'ho fatto?
${ ( y'+y/(x^2+1)=sqrt(x+1) ),( y'(0)=1 ):}$
$P(x):= int_0^x 1/(t^2-1)dt=int_0^x (A/(t+1)+B/(t-1)) dt$
$A/(t+1)+B/(t-1) => At-A+Bt+B=1 => { ( A+B=0 ),( -A+B=1 ):} => { ( A=-1/2 ),( B=1/2 ):}$ quindi:
$P(x):= -1/2int_0^x 1/(t+1) dt +1/2 int_0^x 1/(t-1)dt = [-1/2 ln|t+1|+1/2ln|t-1|]_0^x=[1/2ln|(t-1)/(t+1)|]_0^x=[lnsqrt|(t-1)/(t+1)|]_0^x=[lnsqrt|(x-1)/(x+1)|-0]$
quindi la mia soluzione sarà data da:
$y(x)=e^(-lnsqrt|(x-1)/(x+1)|)int_0^x (sqrt(s+1)e^lnsqrt|(s-1)/(s+1)|)ds$ $=>$
$y(x)=e^(lnsqrt|(x+1)/(x-1)|) int_0^x sqrt(s+1)sqrt|(s-1)/(s+1)|ds =>$
Semplifico poi le due radici all'interno dell'integrale ma una ha il valore assoluto e un'altra no, posso farlo?
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)|int_0^x sqrt|s-1| ds =>$
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)| int_0^x |s-1|^(1/2) ds =>$
$y(x)=sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|s-1|^(3/2)]_0^x =>$
$y(x) =sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|x-1|^(3/2)-2/3|-1|^(3/2)] =>$
$y(x) =sqrt|(x+1)/(x-1)| [2/3|x-1|^(3/2)-2/3]$
dopo la semplificazione ho risolto l'integrale portando avanti il valore assoluto, nel modo scritto sopra, senza fare particolari considerazioni, è giusto farlo come l'ho fatto?
"TeM":
per determinare l'integrale generale si è soliti moltiplicare ambo i membri per \( e^{\int \color{red}{\frac{1}{x^2-1}}\,\text{d}x} =\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \)
Io facendo questo integrale mi esce $sqrt|(x-1)/(x+1)|$ (ho il numeratore diverso dal tuo), perchè dici che possiamo sciogliere tranquillamente il valore assoluto? E,soprattutto, come lo sciogliamo?
Riassumendo:
1)la mia equazione differenziale omogenea è:
$y'(x)+y(x)*1/(x^2-1)=0$ faccio il dominio di $1/(x^2-1)$, quindi ottengo:
$D=(x^2-1)!=0 => x!=+- 1$. mentre tu hai scritto $]-1,1[$, non deve essere $]-oo,-1[uu]-1,1[uu]1,+oo[$ ?
Provo a rispondermi da solo:
Il dominio è nel nostro caso $]-1,1[$ perchè stiamo considerando un pdC con condizione $y(0)=1$ quindi stiamo cercando una soluzione per un intorno di $x_0=0$ e quindi consideriamo l'intervallo ristretto $]-1,1[$?
Ma sto cercando una soluzione definita in un intervallo contente $x=0$ quindi posso omettere i valori assoluti, ma come li ometto?
Noi abbiamo $sqrt|(x-1)/(x+1)|$, considerando il valore assoluto $|(x-1)/(x+1)|$ esso deve essere maggiore di $0$ in quanto la radice non avrebbe significato se negativa quindi devo avere $|(x-1)/(x+1)|>0$, quindi ottengo un primo caso:
$(x-1)/(x+1)>0$ che ha come soluzione l'intevallo $]-oo,-1[uu]1,+oo[$
e un secondo caso (dove moltiplico all'interno del valore assoluto per $-1$, tanto siccome sto in valore assoluto non dovrebbe cambiare nulla)
$-(x-1)/(x+1)>0 =>(1-x)/(x+1)>0$ che ha come soluzione però $]-1,1[ $
e di conseguenza sciolgo il valore assoluto moltiplicando al suo interno per $-1$ visto che devo trovare una soluzione contenuta in questo intervallo
(poi in questo caso sostituendo $x=0$ non mi esce radice negativa)
Posso brutalmente pensare che sostituendo all'interno della soluzione generale dell'equazione la condizione $y(0)=1$(omettendo semplicemente i valori assoluti, senza apportare nessuna modifica) mi trovo una radice negativa, e quindi devo togliere il valore assoluto dalla radice cambiando di segno, per ovviare a questo problema?
Scusami per il disturbo e per la noia che ti sto arrecando
1)la mia equazione differenziale omogenea è:
$y'(x)+y(x)*1/(x^2-1)=0$ faccio il dominio di $1/(x^2-1)$, quindi ottengo:
$D=(x^2-1)!=0 => x!=+- 1$. mentre tu hai scritto $]-1,1[$, non deve essere $]-oo,-1[uu]-1,1[uu]1,+oo[$ ?
Provo a rispondermi da solo:
Il dominio è nel nostro caso $]-1,1[$ perchè stiamo considerando un pdC con condizione $y(0)=1$ quindi stiamo cercando una soluzione per un intorno di $x_0=0$ e quindi consideriamo l'intervallo ristretto $]-1,1[$?
"TeM":
Siccome il dato iniziale è \(y(0) = 1\), stai cercando una soluzione definita in un intervallo
contenente \(x = 0\); tale intervallo sarà contenuto in \(]-1, 1[\) a causa del dominio dell'EDO.
Alla luce di ciò, gli argomenti di tali valori assoluti risultano positivi e quindi si può snellire
il procedimento omettendo tali valori assoluti.
Ma sto cercando una soluzione definita in un intervallo contente $x=0$ quindi posso omettere i valori assoluti, ma come li ometto?
Noi abbiamo $sqrt|(x-1)/(x+1)|$, considerando il valore assoluto $|(x-1)/(x+1)|$ esso deve essere maggiore di $0$ in quanto la radice non avrebbe significato se negativa quindi devo avere $|(x-1)/(x+1)|>0$, quindi ottengo un primo caso:
$(x-1)/(x+1)>0$ che ha come soluzione l'intevallo $]-oo,-1[uu]1,+oo[$
e un secondo caso (dove moltiplico all'interno del valore assoluto per $-1$, tanto siccome sto in valore assoluto non dovrebbe cambiare nulla)
$-(x-1)/(x+1)>0 =>(1-x)/(x+1)>0$ che ha come soluzione però $]-1,1[ $
e di conseguenza sciolgo il valore assoluto moltiplicando al suo interno per $-1$ visto che devo trovare una soluzione contenuta in questo intervallo
(poi in questo caso sostituendo $x=0$ non mi esce radice negativa)Posso brutalmente pensare che sostituendo all'interno della soluzione generale dell'equazione la condizione $y(0)=1$(omettendo semplicemente i valori assoluti, senza apportare nessuna modifica) mi trovo una radice negativa, e quindi devo togliere il valore assoluto dalla radice cambiando di segno, per ovviare a questo problema?
Scusami per il disturbo e per la noia che ti sto arrecando
Ti chiedo scusa per il fatto che ti trattengo su questo argomento e ti ringrazio per quello scritto fin'ora, ma proprio non capisco.
Allora una primitiva di $1/(x^2-1)$ scomponendolo in fratti semplici, quindi $A/(x+1)+B/(x-1)$ è $1/2 log|x-1|-1/2log|x+1|$ perchè dici che è $1/2log|1-x|-1/2log|1+x|$
Lo fai perchè cambiando segno all'interno del valore assoluto, il risultato resta uguale? E questo ci semplifica i calcoli perchè considerando il nuovo caso scritto, per ogni $x$ appartenente al dominio, è sempre maggiore di 0 e quindi possiamo omettere il valore assoluto, o come hai precisato applicare la definizione di valore assoluto ? e quindi come hai scritto:
$1/2 log|x-1|-1/2log|x+1| =>$ (moltiplico all'interno del primo logaritmo per $-1$)$=>$ $1/2 log|1-x|-1/2log|x+1|$ e quindi visto che per ogni $x$ appartenente al mio dominio quei due valori assoluti così scritti sono sempre maggiore di $0$ e quindi i due logaritmi mi diventano così: $1/2 log(1-x)-1/2log(x+1)$, e tra l'altro poi non hanno nemmeno problemi di esistenza.
P.s perchè scrivi $1/2 log|x+1|=1/2log|1+x|$, mi spiego meglio, so che è la stessa cosa, ma c'è un qualche motivo in particolare perchè preferisci la seconda notazione alla prima? (ho notato che più di una volta l'hai scritto così)
Allora una primitiva di $1/(x^2-1)$ scomponendolo in fratti semplici, quindi $A/(x+1)+B/(x-1)$ è $1/2 log|x-1|-1/2log|x+1|$ perchè dici che è $1/2log|1-x|-1/2log|1+x|$
Lo fai perchè cambiando segno all'interno del valore assoluto, il risultato resta uguale? E questo ci semplifica i calcoli perchè considerando il nuovo caso scritto, per ogni $x$ appartenente al dominio, è sempre maggiore di 0 e quindi possiamo omettere il valore assoluto, o come hai precisato applicare la definizione di valore assoluto ? e quindi come hai scritto:
$1/2 log|x-1|-1/2log|x+1| =>$ (moltiplico all'interno del primo logaritmo per $-1$)$=>$ $1/2 log|1-x|-1/2log|x+1|$ e quindi visto che per ogni $x$ appartenente al mio dominio quei due valori assoluti così scritti sono sempre maggiore di $0$ e quindi i due logaritmi mi diventano così: $1/2 log(1-x)-1/2log(x+1)$, e tra l'altro poi non hanno nemmeno problemi di esistenza.
P.s perchè scrivi $1/2 log|x+1|=1/2log|1+x|$, mi spiego meglio, so che è la stessa cosa, ma c'è un qualche motivo in particolare perchè preferisci la seconda notazione alla prima? (ho notato che più di una volta l'hai scritto così)
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