Cauchy

[Ukkh]

CIao a tutti,
l'esercizio sul quale ho dei dubbi è il seguente:
Si consideri il seguente problema di cauchy
y'=(x)^1/2
y(0)=0
la soluzione dice che non ha un'unica soluzione

Svolgendo l'esercizio quindi facendo l'integrale di (x)^1/2 ho trovato che il valore di c è 0, e inoltre (x)^1/2 è crescente, quindi si dovrebbe avere un'unica soluzione crescente
Mi sbaglio?
Grazie per l'attenzione

[gugo82]

Ovviamente, il problema da te proposto ha unica soluzione, la quale, a norma del teorema fondamentale del Calcolo Integrale, è la primitiva di \(\sqrt{x}\) che assume in \(0\) il valore \(0\), cioé:
\[
y(x) = \int_0^x \sqrt{t}\ \text{d} t = \frac{2}{3}\ x^{3/2}\; .
\]

Probabilmente, però, c'è un errore di stampa nel testo.
Secondo me, il PdC che ti si chiede di considerare è quello la cui EDO ha al secondo membro la funzione \(f(x,y):=y^{1/2}\), cioé il PdC:
\[
\tag{1}
\begin{cases}
y^\prime (x) = \sqrt{y(x)}\\
y(0)=0\; .
\end{cases}
\]
Tale problema presenta un fenomeno di nonunicità delle soluzioni, dipendente (in soldoni) dal fatto che in ogni punto del tipo \((x_0,0)\) con \(x_0\in \mathbb{R}\) il secondo membro non soddisfa la condizione di Lipschitz rispetto ad \(y\).
Infatti si verifica facilmente che, comunque si fissi \(x_1\geq 0\), la funzione definita in \(\mathbb{R}\) ponendo:
\[
y(x;x_1) := \begin{cases} 0 &\text{, se } x\leq x_1\\
\frac{1}{2}\ (x-x_1)^2 &\text{, se } x\geq x_1
\end{cases}
\]
è una soluzione di (1), come pure la funzione costante \(y_*(x):=0\) (che è del tipo detto sopra quando si fissi \(x_1=\infty\), cioé \(y_*(x) = y(x;\infty)\)).
Si verifica pure che le funzioni del tipo \(y(\cdot;x_1)\) con \(x_1 \in [0,\infty]\) sono le uniche soluzioni del PdC (1): la famiglia di funzioni \(y(\cdot;x_1)\) che si ottiene facendo variare \(x_1\in [0,\infty]\) si chiama usualmente pennello di Peano associato al PdC (1).
In figura alcune funzioni appartenenti al pennello di Peano associato ad (1): in particolare, quelle che si ottengono per \(x_1=0,2,\frac{7}{2},\infty\).
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=7;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="purple"; line([3.5,0],[8,0]);
stroke="blue"; line([2,0],[3.5,0]); plot("0.5*(x-3.5)^2",3.5,8);
stroke="dodgerblue"; line([0,0],[2,0]); plot("0.5*(x-2)^2",2,8);
stroke="cyan"; line([-6,0],[0,0]); plot("0.5*x^2",0,8);[/asvg]
Tra le funzioni del pennello di Peano ci sono, in ogni caso, una soluzione "più piccola" ed una soluzione "più grande" di tutte le altre: tali soluzioni sono dette integrale inferiore ed integrale superiore del PdC; nel caso in esame, esse sono evidentemente la soluzione stazionaria \(y(\cdot; \infty)=y_*\) ed \(y(\cdot;0)\); conseguentemente, ogni altra soluzione del PdC appartenente al pennello soddisfa le limitazioni:
\[
y(x;\infty)\leq y(x;x_1)\leq y(x;0)
\]
per ogni \(x\in \mathbb{R}\).
I diagrammi dei grafici degli integrali inferiore e superiore delimitano una zona aperta del piano, chiamiamola \(\Omega\), caratterizzata dal fatto che per ogni suo punto passa un unica soluzione del PdC appartenente al pennello di Peano; nel caso in esame è:
\[
\Omega := \left\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x>0 \text{ e } 0 \]
[asvg]xmin=-3;xmax=7;ymin=-3;ymax=7;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("0.5*x^2",0,8); line([0,0],[8,0]); text([5.5,3.5],"Ω");[/asvg]

[Ukkh]

Grazie mille, ora mi è chiaro