Caso "strano"....

[pserj]

Ciao a tutti,
ho qualche domanda da porvi: )

un esercizio mi chiede di trovare il max o min assoluto di questa funzione: 1-sqrt(x^2+y^2).
Inizio calcolando le derivate parziali prime rispetto ad x e y e trovo che la prima derivata è uguale a: - x/sqrt(x^2 + y^2), la seconda a: - y/sqrt(x^2 + y^2). Ora vado a studiare dove queste due derivate si annullano per trovare i punti stazionari e trovo che l'unico punto che ^potrebbe^ andare bene è (0,0).

Ora mi chiedo:
(*1*) è lecito prendere in considerazione questo punto (incluso cmq nel dominio della funzione) anche se per (x,y)=(0,0) non hanno più senso le due derivate parziali prime?
(*2*) Provando ad andare avanti nello studio trascurando l'aspetto appena detto, trovo che la matrice Hessiana mi si annulla e (0,0) è un punto di massimo/minimo che è effetivamente giusto (è un massimo) ... è normale procedere così?
(*3*) Nel caso non ci sono punti per cui le due derivate parziali prime si annullano, per esempio se il punto trovato non fosse incluso nel dominio della funzione, significa che la funzione non ha nè punti di max, nè di min, nè di sella....vero?



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Sergio )
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[Sk_Anonymous]

caro Sergio
hai proprio ragione nel senso che il caso da te segnalato è proprio ‘strano’. Se esaminiamo la funzione…

f(x,y)= 1-sqr(x^2+y^2) [1]

è evidente che il punto (0,0) è un massimo assoluto in quanto è f(0,0)=1 > f(x,y) per ogni (x,y) diverso da (0,0). L’aspetto ‘singolare’, se vogliamo chiamarlo così, è dato dal fatto che entrambe le derivate parziale della funzione [che hanno in effetti l’espressione analitica da te calcolata] in realtà in (0,0) non esistono e pertanto non può essere invocata in questo caso la nota condizione necessaria per l’esistenza di un massimo o minimo di una funzione di due variabili che così recita…

Condizione necessaria per l’esistenza di un estremo relativo in un punto (xo,yo) posto all’interno del campo di esistenza A della funzione e tale che in esso esistano le derivate parziali del primo ordine è che sia…

f’x (xo,yo)=f’y(xo,yo)=0 [2]

Se vai a studiare la [1] ti accorgerai senza troppa fatica che essa rappresenta un cono avente il vertice in (0,0,1) ed è analoga al caso della funzione di una sola variabile…

f(x)= 1-|x| [3]

… la quale ha un massimo assoluto per x=0 anche se in quel punto non esiste la derivata.

cordiali saluti!…

lupo grigio