Caso simile al teorema di Banach

[thedarkhero]

Mi trovo in delle ipotesi che ricordano vagamente il teorema del punto fisso di Banach, dunque provo a ricalcarne la dimostrazione per ottenere un risultato analogo.

Considero uno spazio metrico compatto $(X,d)$ e un'applicazione $T:X->X$ tale che $d(T(x),T(y)) Scelgo arbitrariamente $x_o\inX$ e definisco la successione degli $x_n=T^n(x_0)$, $n\inNN$.
Siccome $X$ è compatto esiste sicuramente una sottosuccessione di $(x_n)_(n\inNN)$ convergente.
Sia allora $(x_(n_k))_(k\inNN)$ questa sottosuccessione e sia $lim_(k->oo)x_(n_k)=\barx$.
$T$ è lipschitziana dunque è anche continua.
Allora $\barx=lim_(k->oo)x_(n_k)=lim_(k->oo)T^(n_k)(x_0)=lim_(k->oo)T(T^(n_k-1)(x_0))=T(lim_(k->oo)T^(n_k-1)(x_0))$.
Se ora riesco a provare che $lim_(k->oo)T^(n_k-1)(x_0)=\barx$ ho provato l'esistenza di un punto fisso, ma non sono nemmeno sicuro che quest'ultima uguaglianza sia vera. Mi indicate se vale la pena di cercare un modo di dimostrarlo o se è falso?
Non sono interessato a provare che il punto fisso esiste, l'ho già fatto in un modo diverso, mi interessa capire se l'esistenza del punto fisso può essere provata nel modo che ho scritto, cioè ricalcando la dimostrazione del teorema di Banach.

[Sk_Anonymous]

Qui.

[thedarkhero]

Ciao Delirium!
Il modo in cui ero riuscito a provare l'esistenza del punto fisso è esattamente quello di cui parli tu.
Ero però interessato a capire se è vero che $lim_(k->oo)T^(n_k-1)(x_0)=\barx$ perchè in tal caso si potrebbe provare l'esistenza esattamente ricalcando Banach.

[Sk_Anonymous]

"thedarkhero":[...] $lim_(k->oo)T^(n_k-1)(x_(n_k))=\barx$ [...]

Semmai bisogna provare che \[ \lim_{k \to \infty }T^{n_k-1}(x_0)=\bar{x} \]
Comunque, apparte il typo, non saprei: non stai utilizzando in maniera fondamentale l'ipotesi di contrattività di \(T\), e poi la sottosuccessione convergente che estrai da \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) - l'esistenza della quale è garantita dalla compattezza dello spazio metrico - è \(x_{n_k}\), non \(x_{n_k -1}\)... Infatti se \[x_1, x_3, x_5, \dots \to \bar{x} \] possiamo dire lo stesso di \[x_0, x_2, x_4 \dots \] ?

Dovresti addirittura tornare a monte per provare che effettivamente \(x_{n_k -1}\) converga, prima di stabilirne il valore di convergenza. Al momento però non mi vengono idee buone (sempre ammesso che si possa fare).

[thedarkhero]

Ho corretto quanto mi hai segnalato, chiaramente una svista.

Mi hai convinto con quell'esempio che il limite in questione potrebbe non esistere neppure. Peccato, ci speravo

Grazie!!