Caso patologico: integrazione infinita

[The_Mad_Hatter]

Vabbè che con gli integrali ci vado poco d'accordo, vabbè che domani ho pure l'orale, vabbè tutto, ma dico io: è possibile ritrovarsi in casi patologici o capita solo a me?

Vi spiego:

stavo cercando di calcolare $int x/(x-1) dx$.
Ok, non sapendo come iniziare (come al solito ) provo per parti, notando che $(x^2/2)' = x$ e quindi $int x/(x-1) dx = x^2/(2*(x-1)) + 1/2int x^2/(x-1)^2 dx$.
Trovo A, B e C tali che $A/(x-1) + (Bx+C)/(x-1) = x^2/(x-1)^2$: $A=C=1/2, B=1$; pertanto:
$x^2/(2*(x-1)) + 1/2int x^2/(x-1)^2 dx = x^2/(2*(x-1)) + 1/2 (1/2 int dx/(x-1) + int x/(x-1) + 1/2 int dx/(x-1)) = x^2/(2*(x-1)) + 1/2 log |x-1| +1/2 int x/(x-1) dx$ !

Cioè praticamente l'integrale iniziale è uguale a tutto sto macello più un mezzo di se stesso??? Cosa devo dedurre da ciò?

[Rigel1]

Se tu hai $A = (roba varia) + A/2$, puoi dedurre che $A = 2 (roba varia)$.

Nel caso specifico, se tieni conto del fatto che
$\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1},$
l'integrale non dovrebbe essere troppo difficile.

[The_Mad_Hatter]

"Rigel":Se tu hai $A = (roba varia) + A/2$, puoi dedurre che $A = (roba varia) / 2$.

Nel caso specifico, se tieni conto del fatto che
$\frac{x}{x-1} = \frac{(x-1)+1}{x-1} = 1 + \frac{1}{x-1},$
l'integrale non dovrebbe essere troppo difficile.

In effetti era proprio quello che avevo dedotto. Bene così dunque!

Anche perché poi, andando ad iterare, il tutto ricorda una notissima serie che guardacaso converge ad 1... ovvero sto dicendo che $A = sum_(n=1)^(+oo)1/2^n A$ (scoperta dell'acqua calda! )


Comunque in effetti notando quel che mi hai fatto notare tu, il tutto diventa una vera e propria baggianata



P.S.: Ma quindi devo dedurre che la differenza tra $1/4 * (x^2/(x-1) + log|x-1|$ e $ x+log|x-1|$ è una costante? Oppure ho sbagliato qualcosa nell'integrazione per parti (più probabile )?


EDIT:
ora che vedo un po' meglio... non dovrebbe essere $A = 2*$robavaria ??

Quindi comunque dovrebbe essere $(x^2/(x-1) + log|x-1|) - (x+log|x-1|) = c$, ed ugualmente non mi ritrovo..!

[Rigel1]

"The_Mad_Hatter":[quote="Rigel"
EDIT:
ora che vedo un po' meglio... non dovrebbe essere $A = 2*$robavaria ??

Ups, hai ragione, ma a quest'ora cosa pretendi...
Per lo stesso motivo non mi cimento a fare il tuo integrale per parti

[regim]

"The_Mad_Hatter":Vabbè che con gli integrali ci vado poco d'accordo, vabbè che domani ho pure l'orale, vabbè tutto, ma dico io: è possibile ritrovarsi in casi patologici o capita solo a me?
......

Vi spiego: stavo cercando di calcolare $int x/(x-1) dx$.

Se lo fai per parti ti viene semplice, quella tra parentesi è la primitiva del logaritmo(logaritmo di $x-1$ chiaramente):

$I = xln(x-1) - [(x-1)ln(x-1) - x] + c = ln(x-1) +x + c$

[The_Mad_Hatter]

"regim":[quote="The_Mad_Hatter"]Vabbè che con gli integrali ci vado poco d'accordo, vabbè che domani ho pure l'orale, vabbè tutto, ma dico io: è possibile ritrovarsi in casi patologici o capita solo a me?
......

Vi spiego: stavo cercando di calcolare $int x/(x-1) dx$.

Se lo fai per parti ti viene semplice, quella tra parentesi è la primitiva del logaritmo(logaritmo di $x-1$ chiaramente):

$I = xln(x-1) - [(x-1)ln(x-1) - x] + c = ln(x-1) +x + c$[/quote]
Eh già :\

io da genio ho ignorato la derivata del logaritmo ed ho pensato alla $x$

Cmq grazie a tutti del chiarimento