Casi noti integrazione per parti

[Scientist]

Salve a tutti, conosco il metodo di integrazione per parti e so che ogni caso va studiato separatamente, però so che ci sono alcuni casi comuni in cui notoriamente si sa che è meglio scegliere una f(x) e una g'(x) in un certo modo piuttosto che all'inverso, siccome domani ho l'esame, mi direste voi quali conoscete in modo da non rischiare perdite di tempo e concentrarmi poi a cose anche più impegnative col tempo restante? Grazie!

[Clorinda1]

Caso per caso, devi analizzare la situazione; ad esempio:

1) \(\displaystyle \int x \cdot e^x dx \)

Scelgo \(\displaystyle f(x)=x \) e \(\displaystyle g'(x)=e^x \)

perché derivando la \(\displaystyle x \) ottengo \(\displaystyle 1 \), mentre la primitiva di \(\displaystyle g'(x)=e^x \) è banale.

2)\(\displaystyle \int ln(x) dx \)

è come scrivere \(\displaystyle \int ln(x) \cdot 1 dx \)

quindi ovviamente scelgo \(\displaystyle f(x)=ln(x) \) e \(\displaystyle g'(x)=1 \)

[gugo82]

In generale, una regola empirica è la seguente:

Quando si integra per parti un prodotto di due funzioni è consigliabile prendere come fattore differenziale (cioé come funzione da integrare) nell'ordine:

[*:397qj8kp] esponenziali;

[/*:m:397qj8kp]
[*:397qj8kp] trigonometriche (seno, coseno e tangente);

[/*:m:397qj8kp]
[*:397qj8kp] algebriche (potenze ad esponente naturale o polinomi);

[/*:m:397qj8kp]
[*:397qj8kp] inverse di trigonometriche (arcoseno, arcocoseno e arcotangente);

[/*:m:397qj8kp]
[*:397qj8kp] logaritmi.[/*:m:397qj8kp][/list:u:397qj8kp]

Come tutte le regole empiriche non è un teorema, quindi non si può avere la certezza che funzioni in ogni caso; ma molte volte funziona e tanto basta.