Cardinalità insieme delle parti di $\NN$
Ciao a tutti! Sono ancora alle prese con la storia dei cardinali, ed in particolare con questo importante risultato che non riesco a provare, formulato come un esercizio 
Spero che qualcuno possa aiutare la mia ignoranza, vi ringrazio in anticipo . Per dove è piazzato l'esercizio nel libro, credo si assuma che il lettore non conosca ancora le serie numeriche e le nozioni di convergenza di serie e successioni, giusto per contestualizzare.
Si consideri la funzione di $\mathcal{P}(\NN)$ in $[0,1]$ che ad ogni sottoinsiee $A\subseteq\NN$ associa il numero $x_A\in[0,1]$ il cui sviluppo in una qualsiasi base $b>2$ è $0.c_1c_2...c_n...$ dove
\begin{equation*}
c_n =
\begin{cases}
1 \text{ se } n\in A\\
0 \text{ se } n\notin A
\end{cases}
\end{equation*}
$i)$ Mostrare che $A$ è iniettiva e dunque $Card(\mathcal{P}(\NN))\le Card[0,1]$.
$ii)$ Mostrare che se la base della numerazione è $b=2$, la stessa funzione è suriettiva ma non più iniettiva, dunque $Card(\mathcal{P}(\NN))\ge Card[0,1]$.
Per il teorema di Cantor-Schroder-Bernstein, si conclude che $Card(\mathcal{P}(\NN))= Card[0,1]$.
L'unica cosa della soluzione che mi viene in mente al momento è dimostrare l'iniettività in $i)$ per induzione, ma non so bene come. Chiedo scusa per l'ignoranza, grazie in anticipo! Ciao
Spero che qualcuno possa aiutare la mia ignoranza, vi ringrazio in anticipo . Per dove è piazzato l'esercizio nel libro, credo si assuma che il lettore non conosca ancora le serie numeriche e le nozioni di convergenza di serie e successioni, giusto per contestualizzare. Si consideri la funzione di $\mathcal{P}(\NN)$ in $[0,1]$ che ad ogni sottoinsiee $A\subseteq\NN$ associa il numero $x_A\in[0,1]$ il cui sviluppo in una qualsiasi base $b>2$ è $0.c_1c_2...c_n...$ dove
\begin{equation*}
c_n =
\begin{cases}
1 \text{ se } n\in A\\
0 \text{ se } n\notin A
\end{cases}
\end{equation*}
$i)$ Mostrare che $A$ è iniettiva e dunque $Card(\mathcal{P}(\NN))\le Card[0,1]$.
$ii)$ Mostrare che se la base della numerazione è $b=2$, la stessa funzione è suriettiva ma non più iniettiva, dunque $Card(\mathcal{P}(\NN))\ge Card[0,1]$.
Per il teorema di Cantor-Schroder-Bernstein, si conclude che $Card(\mathcal{P}(\NN))= Card[0,1]$.
L'unica cosa della soluzione che mi viene in mente al momento è dimostrare l'iniettività in $i)$ per induzione, ma non so bene come. Chiedo scusa per l'ignoranza, grazie in anticipo! Ciao
Risposte
Non c'è bisogno di nessuna convergenza (com'è ovvio che sia, la cardinalità non è una nozione topologica, solo insiemistica): se due successioni sono uguali termine a termine, definiscono lo stesso insieme, quindi \(F : \mathscr{P}(\mathbb N)\to [0,1]\) è iniettiva.
Grazie mille Lao_Dan per la risposta. Il primo modo in cui avevo dimostrato l'iniettività è proprio quello che hai detto tu, però pensavo fosse una cavolata, non so perché. Tanto meglio, ti ringrazio! Resta da provare la seconda parte!
Scusate l'ignoranza, ma guardando sta mappa, in $i)$ mi viene da dire che non è neanche iniettiva a me, cioè mi pare che $\emptyset$ e $\{0\}$ siano mappati tutti e due in $0.00...0...$ 
C'è solo un problema di indicizzazione; il primo elemento di $NN$ è lo zero, quindi \(\varnothing\) è rappresentato da $0$, e \( \{0\}\) da \(0.1\). Se invece scrivi i numeri come \( 0.c_0 c_1 c_2...\) non c'è questo problema.
Grazie mille Killing_buddha, questo risolve il problema! Adesso provo a dimostrare sia che non è suriettiva, sia il punto $ii)$, stiamo a vedere!
Nel punto $ii)$ secondo me la mappa è la composizione di due mappe: la prima
\begin{equation*}
f_1:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to\mathcal{B}_2:A\mapsto x_{A_2}=0.c_1c_2...c_n...
\end{equation*}
dove $\mathcal{B}_2:=(\{0,1\},+,\cdot)$ è l'algebra di Boole a due elementi, e l'altra
\begin{equation*}
f_2:\mathcal{B}_2\to[0,1]\subseteq \mathbb{R}: x_{A_2}\mapsto x_A
\end{equation*}
dove $x_{A_2}$ è la rappresentazione binaria di $x_A\in[0,1]$. La definizione di $c_n$ è sempre quella solita, solo che $1$ e $0$ sono da intendersi in base $2$. Secondo me $f_1$ è addirittura biiettiva mentre $f_2$ non è iniettiva, infatti, ad esempio $0.1\bar{0}$ e $0.0\bar{1}$ sono la rappresentazione binaria dello stesso numero decimale $1/2$. Il fatto è che per vedere questo, almeno io, uso la serie geometrica, quindi mi chiedo se per caso ci sia un modo più semplice per dimostrarlo. In totale quindi $f = f_2\circ f_1$ non è iniettiva, perché non lo è $f_2$. Infatti, ad esempio, $f(\{1\}) = f(\{n\in\NN: n\ge2\}) = 1/2$. Potrei aver sparato un MARE di cavolate, in tal caso chiedo scusa . E' certamente suriettiva poiché ogni elemento in $[0,1]$ può essere convertito in binario.
\begin{equation*}
f_1:\mathcal{P}(\mathbb{N})\to\mathcal{B}_2:A\mapsto x_{A_2}=0.c_1c_2...c_n...
\end{equation*}
dove $\mathcal{B}_2:=(\{0,1\},+,\cdot)$ è l'algebra di Boole a due elementi, e l'altra
\begin{equation*}
f_2:\mathcal{B}_2\to[0,1]\subseteq \mathbb{R}: x_{A_2}\mapsto x_A
\end{equation*}
dove $x_{A_2}$ è la rappresentazione binaria di $x_A\in[0,1]$. La definizione di $c_n$ è sempre quella solita, solo che $1$ e $0$ sono da intendersi in base $2$. Secondo me $f_1$ è addirittura biiettiva mentre $f_2$ non è iniettiva, infatti, ad esempio $0.1\bar{0}$ e $0.0\bar{1}$ sono la rappresentazione binaria dello stesso numero decimale $1/2$. Il fatto è che per vedere questo, almeno io, uso la serie geometrica, quindi mi chiedo se per caso ci sia un modo più semplice per dimostrarlo. In totale quindi $f = f_2\circ f_1$ non è iniettiva, perché non lo è $f_2$. Infatti, ad esempio, $f(\{1\}) = f(\{n\in\NN: n\ge2\}) = 1/2$. Potrei aver sparato un MARE di cavolate, in tal caso chiedo scusa
. E' certamente suriettiva poiché ogni elemento in $[0,1]$ può essere convertito in binario.
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