Cardinalità di $l^2$

[Kroldar]

Chiaramente, lo spazio $l^2$ delle successioni numeriche quadrato-sommabili ha cardinalità infinita.
Di che tipo di infinito si tratta?

[dissonance]

Più che numerabile di sicuro. Anzi è la dimensione algebrica di $l^2$ ad essere più che numerabile, come dimostrato da ViciousGoblin qui.

[gugo82]

Per stabilire che $"card"(l^2) >= "card"(RR)$ basta notare che $l^2$ contiene un sottospazio isomorfo ad $RR$... Non c'è bisogno di sparare coi cannoni.

Il problema, casomai, è far vedere che $"card"(l^2) < "card"(P(RR))$.

[Kroldar]

"Gugo82":
Il problema, casomai, è far vedere che $"card"(l^2) < "card"(P(RR))$.

Intendi dire che l'affermazione "$"card"(l^2) < "card"(P(RR))$" è vera ma è difficile provarlo oppure intendi dire che nessuno è riuscito a pronunciarsi su quell'affermazione?

[dissonance]

"Gugo82":Per stabilire che $"card"(l^2) >= "card"(RR)$ basta notare che $l^2$ contiene un sottospazio isomorfo ad $RR$... Non c'è bisogno di sparare coi cannoni.

:-) Si, certo. Pensavo che l'informazione sulla base algebrica più che numerabile potesse essere rilevante per la cardinalità totale di $l^2$. Chiaramente è una informazione tipo $"card"(l^2)>"qualcosa"$, quindi non aiuta a dimostrare che $"card"(l^2)<"card"(P(RR))$ (ammesso che sia vero, io non ne ho la minima idea).

[Kroldar]

"dissonance":come dimostrato da ViciousGoblin qui.

Tra l'altro quella dimostrazione non l'ho capita. Se fisso $n$ e considero $X_n$ come l'insieme delle combinazioni lineari degli elementi $x_1,x_2,...,x_n$, perché $X_n$ dovrebbe essere privo di punti interni?

[gugo82]

"Kroldar":[quote="Gugo82"]
Il problema, casomai, è far vedere che $"card"(l^2) < "card"(P(RR))$.

Intendi dire che l'affermazione "$"card"(l^2) < "card"(P(RR))$" è vera ma è difficile provarlo oppure intendi dire che nessuno è riuscito a pronunciarsi su quell'affermazione?[/quote]
Intendo che non mi sono mai posto la questione e che però mi pare plausibile che la cardinalità di $l^2$ sia quella di $RR$ e non più grande... Ma è solo un'ipotesi.

[Kroldar]

"Kroldar":
Tra l'altro quella dimostrazione non l'ho capita. Se fisso $n$ e considero $X_n$ come l'insieme delle combinazioni lineari degli elementi $x_1,x_2,...,x_n$, perché $X_n$ dovrebbe essere privo di punti interni?

Ok, capito. Se fisso un punto $x_0 in X_n$, non riesco a trovare un raggio $r > 0$ tale che la palla $B(x_0,r)$ è tutta contenuta in $X_n$, poiché in $B(x_0,r)$ ci cade sicuramente un elemento del tipo $x_0+(r-epsilon)/(||x_(n+1)||)x_(n+1)$, che non è contenuto in $X_n$.