Cardinalità
Salve ragazzi volevo chiedere delle delucidazioni sul concetto di cardinalità di un'insieme. la cosa non mi è per niente chiara... cioè qual'è il significato di questo concetto? a che cosa mi serve stabilire la cardinalità? grazie mille 
Risposte
... il numero di elementi dell'insieme?
L'insieme dei giorni della settimana ha la stessa cardinalità dell'insieme delle note musicali.
Temo però che questa non sia la sezione più adatta, a seconda della natura del tuo interesse sposterei in secondaria di II grado o algebra. Fammi capire cosa ti serve.
Ah... e benvenuto sul forum!
L'insieme dei giorni della settimana ha la stessa cardinalità dell'insieme delle note musicali.
Temo però che questa non sia la sezione più adatta, a seconda della natura del tuo interesse sposterei in secondaria di II grado o algebra. Fammi capire cosa ti serve.
Ah... e benvenuto sul forum!
chiedo scusa ancora non sono pratico XD cmq sto studiando un pò di teoria degli insiemi per l'esame di analisi 1... e mi sono fermato sulla definizione che l'insieme Q è numerabile perchè si può trovare una relazione biunivoca con l'insieme N mentre lo stesso discorso non vale per l'insieme R...
Ciao Matrix8989. Tento di risponderti in maniera esauriente.
Allora, diamo questa definizione :
def cardinalità
Sia $A$ un insieme. si definisce $card(A) vv |A|$ , e si legge cardinalità di $A$ , il numero degli elementi di $A$.
esempio 1
$A= {1,2}$ , allora $card(A)=2$
Ora , in base alla cardinalità di un insieme, si può dare una caratterizzazione ad ogni tipo di insieme. e sostanzialmente, i tipi di insiemi sono due.
Quelli finiti, e quelli infiniti.
insieme finito
Sia $A$ un insieme.
$A$ finito se e solo se $|A|=n$.
insieme infinito
Sia $A$ un insieme . $P(A)$ l'insiemedelle parti di $A$.
$A$ si dice infinito se e solo se $EE f : A->P(A) $ tale che $f$ è biunivoca.
esempio 2
$A=NN$ , $B = {2n | n in NN}$ , $B sube P(A)$.
$f : NN -> B def AA n in NN , f(n)=2n$ è biunivoca.
L'esempio 2 , ci dice una cosa molto interessante, $NN$ ( naturali) , è infinito.
All'insieme dei numeri naturali si attribuisce una particolare cardinalità, quella del "numerabile" . (tra poco capiremo perché questa distinzione)
In particolare si pone che $card(NN)=\aleph_0$. ($\aleph$ è una lettera ebraica se non mi sbaglio)
Un'altro esempio importante di insieme infinito è $RR$ , in particolare si dimostra che $card(RR)=2^(\aleph_0)$ , e vien detta cardinalità del continuo.
Ora un insieme si dice numerabile
se può esser messo in corrispondenza biunivoca con $NN$ (in particolare tale insieme ha la stessa cardinalità di $NN$).
Un insieme infinito che non può esser messo in corrispondenza biunivoca con $NN$ viene detto che non è numerabile . E ha la cardinalità del continuo.
Si dimostra che $RR$ non è numerabile ti mando qui-
Per approfondimento qui
Quindi , succo del discorso,
vi sono due tipi di insiemi infiniti , quelli che hanno la stessa cardinalità di $NN$ e quelli che hanno la stessa cardinalità di $RR$.
Nota una cosa molto bella e interessante, la cardinalità di $RR$ somiglia molto a quella dell'insieme delle parti di $NN$.
Spero di non aver detto fesserie, cordiali saluti
Allora, diamo questa definizione :
def cardinalità
Sia $A$ un insieme. si definisce $card(A) vv |A|$ , e si legge cardinalità di $A$ , il numero degli elementi di $A$.
esempio 1
$A= {1,2}$ , allora $card(A)=2$
Ora , in base alla cardinalità di un insieme, si può dare una caratterizzazione ad ogni tipo di insieme. e sostanzialmente, i tipi di insiemi sono due.
Quelli finiti, e quelli infiniti.
insieme finito
Sia $A$ un insieme.
$A$ finito se e solo se $|A|=n$.
insieme infinito
Sia $A$ un insieme . $P(A)$ l'insiemedelle parti di $A$.
$A$ si dice infinito se e solo se $EE f : A->P(A) $ tale che $f$ è biunivoca.
esempio 2
$A=NN$ , $B = {2n | n in NN}$ , $B sube P(A)$.
$f : NN -> B def AA n in NN , f(n)=2n$ è biunivoca.
L'esempio 2 , ci dice una cosa molto interessante, $NN$ ( naturali) , è infinito.
All'insieme dei numeri naturali si attribuisce una particolare cardinalità, quella del "numerabile" . (tra poco capiremo perché questa distinzione)
In particolare si pone che $card(NN)=\aleph_0$. ($\aleph$ è una lettera ebraica se non mi sbaglio)
Un'altro esempio importante di insieme infinito è $RR$ , in particolare si dimostra che $card(RR)=2^(\aleph_0)$ , e vien detta cardinalità del continuo.
Ora un insieme si dice numerabile
se può esser messo in corrispondenza biunivoca con $NN$ (in particolare tale insieme ha la stessa cardinalità di $NN$).
Un insieme infinito che non può esser messo in corrispondenza biunivoca con $NN$ viene detto che non è numerabile . E ha la cardinalità del continuo.
Si dimostra che $RR$ non è numerabile ti mando qui-
Per approfondimento qui
Quindi , succo del discorso,
vi sono due tipi di insiemi infiniti , quelli che hanno la stessa cardinalità di $NN$ e quelli che hanno la stessa cardinalità di $RR$.
Nota una cosa molto bella e interessante, la cardinalità di $RR$ somiglia molto a quella dell'insieme delle parti di $NN$.
Spero di non aver detto fesserie, cordiali saluti
Ciao Kashman, ci sono alcuni passaggi che mi rimangono oscuri, ma forse è colpa mia
scritta così a me sembra che che gli elementi di $A$ siano in corrispondenza biunivoca con $P(A)$ (l'insieme delle parti è un insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi, propri ed impropri, che si ottengono da $A$, dalla cardinalità di $A$ si ricava il numero di tutti i diversi sottoinsiemi, se un insieme ha 4 elementi possiamo fare $4^2$ sottoinsiemi) e quindi tanti quanti.
Io la sapevo così: un insieme è infinito se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Se ho preso una cantonata, correggimi.
"Kashaman":
insieme infinito
Sia $A$ un insieme . $P(A)$ l'insiemedelle parti di $A$.
$A$ si dice infinito se e solo se $EE f : A->P(A) $ tale che $f$ è biunivoca.
scritta così a me sembra che che gli elementi di $A$ siano in corrispondenza biunivoca con $P(A)$ (l'insieme delle parti è un insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi, propri ed impropri, che si ottengono da $A$, dalla cardinalità di $A$ si ricava il numero di tutti i diversi sottoinsiemi, se un insieme ha 4 elementi possiamo fare $4^2$ sottoinsiemi) e quindi tanti quanti.
Io la sapevo così: un insieme è infinito se si può mettere in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio.
Se ho preso una cantonata, correggimi.
Giusto, giustissimo! hai ragione. Non è molto chiara come cosa. Ho preso una cantonata e li ho detto una fesseria.
Forse cosi va meglio
Sia $A$ un insieme. $B sube A ^^ B!=A$
$A$ si dice infinito $<=>$ $EE f : A -> B $ biunivoca.
che ne dici?
Forse cosi va meglio
Sia $A$ un insieme. $B sube A ^^ B!=A$
$A$ si dice infinito $<=>$ $EE f : A -> B $ biunivoca.
che ne dici?
dico che capisco meglio.
Io sapevo che con questa scrittura $B\subsetA$ si intende che $B$ è sottoinsieme proprio di $A$, si esclude quindi che $B$ sia l'insieme vuoto o che sia lo stesso $A$, ma sulle notazioni a volte non c'è uniformità.
Io sapevo che con questa scrittura $B\subsetA$ si intende che $B$ è sottoinsieme proprio di $A$, si esclude quindi che $B$ sia l'insieme vuoto o che sia lo stesso $A$, ma sulle notazioni a volte non c'è uniformità.
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