Caratterizzazioni delle funzioni costanti

[monetaria]

spreste dimostrarmi perchè se f è derivabile in un intervallo chiuso e la derivata prima è 0 allora f è costante in quell'intervallo??

[G.D.5]

Per assurdo, la funzione $f:I \subseteq RR to RR$ sia non costante in $I$; allora $exists x_1,x_2 in I: f(x_1)!=f(x_2)$. Consideriamo la funzione ristretta a $[x_1;x_2]$: sono valide le ipotesi del Teorema di Lagrange, quindi $\exists x_0 in (x_1;x_2) : f'(x_0)=frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}!=0$, essendo $f(x_1)!=f(x_2)$. Questa conclusione costituisce un assurdo, dovendo essere $forall x \in I, f'(x)=0$.

Il tutto salvo erroracci miei

[monetaria]

e se volessi utilizzare il criterio di monotonia?

[G.D.5]

Che è?

[monetaria]

la derivata prima di f è maggiore o uguale a 0 se e solo se f crescente nell'intervallo in cui è definita la funzione

[G.D.5]

Non saprei, mi viene da pensare alla parabola in $[0;+2]$: è crescente e la derivata è non negativa, ma ovviamente la funzione non è costante.
Attendi gli altri.

[rubik2]

se $f'=0$ in un intervallo allora sia f che -f sono crescenti se $x<=y$ allora $f(x)<=f(y),-f(x)<=-f(y) \Rightarrow f(x)=f(y)$

[G.D.5]

"rubik":se $f'=0$ in un intervallo allora sia f che -f sono crescenti se $x<=y$ allora $f(x)<=f(y),-f(x)<=-f(y) \Rightarrow f(x)=f(y)$

Sicuro?
$-f(x)=-1(f(x))$, quindi $d/(dx)(-f(x))=d/(dx)(-1*f(x))=-1*d/(dx)f(x)$ e se $f'(x)>=0$, allora $d/(dx)(-f(x))<=0$...

[G.D.5]

Io proporrei questo: $f$ è contemporaneamente crescente e decrescente, quindi è costante. E' OK?

[rubik2]

"WiZaRd":[quote="rubik"]se $f'=0$ in un intervallo allora sia f che -f sono crescenti se $x<=y$ allora $f(x)<=f(y),-f(x)<=-f(y) \Rightarrow f(x)=f(y)$

Sicuro?
$-f(x)=-1(f(x))$, quindi $d/(dx)(-f(x))=d/(dx)(-1*f(x))=-1*d/(dx)f(x)$ e se $f'(x)>=0$, allora $d/(dx)(-f(x))<=0$...[/quote]

se $f'=0$ allora $-f'=0$ in particolare $-f'<=0$

l'idea comunque è quella che dici te comunque che f è sia crescente che decrescente

[G.D.5]

"rubik":[quote="WiZaRd"][quote="rubik"]se $f'=0$ in un intervallo allora sia f che -f sono crescenti se $x<=y$ allora $f(x)<=f(y),-f(x)<=-f(y) \Rightarrow f(x)=f(y)$

Sicuro?
$-f(x)=-1(f(x))$, quindi $d/(dx)(-f(x))=d/(dx)(-1*f(x))=-1*d/(dx)f(x)$ e se $f'(x)>=0$, allora $d/(dx)(-f(x))<=0$...[/quote]

se $f'=0$ allora $-f'=0$ in particolare $-f'<=0$[/quote]

OK.

[rubik2]

"WiZaRd":[quote="rubik"][quote="WiZaRd"][quote="rubik"]se $f'=0$ in un intervallo allora sia f che -f sono crescenti se $x<=y$ allora $f(x)<=f(y),-f(x)<=-f(y) \Rightarrow f(x)=f(y)$

Sicuro?
$-f(x)=-1(f(x))$, quindi $d/(dx)(-f(x))=d/(dx)(-1*f(x))=-1*d/(dx)f(x)$ e se $f'(x)>=0$, allora $d/(dx)(-f(x))<=0$...[/quote]

se $f'=0$ allora $-f'=0$ in particolare $-f'<=0$[/quote]

OK.[/quote]

mi sono sbagliato comunque volevo dire in particolare $-f'>=0$ quindi -f crescente.

[G.D.5]

Rubik, perdonami ma comincio a non seguirti.

Se $f:I subseteq RR to RR$ è tale che $f'>=0$, presa $-f:I subseteq RR to RR$ si ha che $D_x (-f)=D_x ((-1)cdotf)=-D_xf=>D_x (-f)<=0$.

Con $-f'$ intendi $D_x (-f)$?

[rubik2]

"WiZaRd":Rubik, perdonami ma comincio a non seguirti.

Se $f:I subseteq RR to RR$ è tale che $f'>=0$, presa $-f:I subseteq RR to RR$ si ha che $D_x (-f)=D_x ((-1)cdotf)=-D_xf=>D_x (-f)<=0$.

Con $-f'$ intendi $D_x (-f)$?

guarda prima voglio notare che come hai detto te essendo $f'=0$ f è sia crescente che decrescente, ora se f è decrescente -f è crescente e viceversa, quindi abbiamo detto la stessa cosa!

la derivata è lineare: $(alphaF+betaG)'=alphaF'+betaG'$ quindi $D(-f)=-D(f)$ che nel nostro caso viene zero

una funzione è crescente (non strettamente) se la sua derivata è maggiore o uguale a zero.

essendo $D(-f)=0$ allora $-f$ è crescente.

ho ricapitolato tutto, spero di esser stato poco confusionario stavolta, in caso contrario dimmi. ciao

[G.D.5]

OK. Adesso ci sono. Grazie per la tua cordialità.