Caratterizzazione relativa compattezza in c0

[Reyzet]

Ciao a tutti ho questo esercizio che non ho idea di come fare, quindi ci provo qui.
Intanto diciamo che un sottoinsieme di uno spazio metrico è relativamente (sequenzialmente) compatto se la chiusura è sequenzialmente compatta, e chiamiamo $c_{0}$ lo spazio delle successioni reali infinitesime con la metrica del sup (lagrangiana).

Dovrei provare che un sottoinsieme $H$ di $c_{0}$ è relativamente compatto se e solo se esiste una successione infinitesima $y=(y_{n})$ tale che per ogni successione $(x=x_{n})$ di $H$ e per ogni naturale n si abbia $|x_{n}| \leq |y_{n}|$.


Non ho idea di come muovermi. Inizialmente pensavo di usare sottozuccessioni, ma essendo successioni di successioni era una bolgia di indici e non arrivavo da nessuna parte. Intanto vorrei provaree almeno la parte necessaria e l'idea mia era questa:
Siccome H è seq rel. compatto la chiusura è totalmente limitata e quindi lo è pure H, da cui se fisso $r$ reale positivo si ha che esistono $y_{1},...,y_{p}$ elementi di $c_{0}$ tale che H è contenuto nell'unione di palle aperte centrate nei vari $y_{i}$ e raggio quell'r. Ora osservo che la successione di termine generale $Y_{n}=max([y_{i}]_{n})$ è infinitesima e pertanto ogni elemento di H sta nella palla centrata in questa successione e raggio r, da cui la distanza lagrangiana tra ogni successione e questa è minore di r, da cui con la dis triangolare si ha per qualche i $|x_{n}|\leq |[y_{i}]_{n}|+r \leq |Y_{n}|+r$ per ogni n. Ora la cosa che mi fa pensare che tutto il papiro sia sbagliato, faccio tendere r a 0 e trovo la successione cercata che maggiora termine a termine ogni elemento di H. Il fatto è che se cambia r cambiano quelle p successioni e quindi la successione finale...
Se qualcuno ha voglia di leggere fin qui e ha altre idee è il benvenuto.

[Bremen000]

Ciao, credo che una maniera per farlo sia questa, ma non sono sicuro al 100%. Dimmi se c'è qualcosa che non ti torna!

Lemma
\[ H \subseteq c_0 \text{ compatto} \Rightarrow \forall \epsilon >0 \quad \exists N(\epsilon) \in \mathbb{N} \text{ t.c. } |x_n| < \epsilon \, \, \forall n > N(\epsilon) \, \, \forall x \in H \]
(credo sia un $\Leftrightarrow$ ma non ci serve l'implicazione $\Leftarrow$)
Dimostrazione:

Supponiamo per assurdo che non sia vero. Allora

\[ \exists \bar{\epsilon}>0 \mid \forall N \in \mathbb{N} \, \, \exists x(N) \in H \, \, \exists n(N) > N \mid |x(N)_{n(N)}| \ge \bar{\epsilon} \]

Sia \( \{ x(N) \}_{N \in \mathbb{N}} \subseteq H \) la successione di questi elementi. Mostriamo che non ammette sottosuccessioni convergenti. Sia $k \in \mathbb{N}$ fissato. Voglio mostrare che esistono $N_1, N_2 > k$ t.c. \( \|x(N_{1}) -x(N_{2})\| \ge \bar{\epsilon}/2 \).
Sia $N_2= k+1$.
1. Poiché \( x(N_{2}) \in H \) esiste un $L \in \mathbb{N}$ t.c. se $n>L$ allora \( |x(N_{2})_n| < \bar{\epsilon}/2 \)
Sia $N_1$ t.c. $N_1>k$ e $N_{1} > L$. Allora
2. Poiché \( x(N_{1}) \in \{ x(N) \}_{N \in \mathbb{N}} \) esiste un $l>N_{1}>L$ t.c. \( |x(N_{1})_l| \ge \bar{\epsilon} \)

Allora
\[ \|x(N_{1}) -x(N_{2})\| \ge |x(N_{1})_{l} -x(N_{2})_{l} | \ge |x(N_{1})_{l}| -|x(N_{2})_{l} | > \bar{\epsilon} - \bar{\epsilon}/2 = \bar{\epsilon}/2 \]
e quindi $H$ non è compatto.

$H$ compatto implica $\exists y \in c_0$ t.c. se $x \in H$ allora $|x_n| \le |y_n| \, \forall n \in \mathbb{N}$

Supponiamo che $H$ sia compatto e definiamo $y:= \{y_n}_{n \in \mathbb{N}}$ dove \( y_n = \sup_{x \in H} |x_n| \). Chiaramente se $x \in H$ allora $|x_n| \le |y_n|$ per ogni $n \in \mathbb{N}$. Basta mostrare che $y \in c_0$ o equivalentemente che
\[ \lim_{n \to + \infty} \sup_{x \in H} |x_n| =0\]
Per definizione di sup sappiamo che per ogni $n \in \mathbb{N}$ e per ogni $k \in \mathbb{N}$ esiste un $x(k,n) \in H$ tale che
\[ \sup_{x \in H} |x_n| \le |x(k,n)_n| + \frac{1}{k} \]
Sia $\epsilon >0$, allora dal lemma sappiamo esistere $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ tale che se $n>N(\epsilon)$ allora $|x_n| < \epsilon$ per ogni $x \in H$. Quindi se $n > N(\epsilon)$ abbiamo
\[ \forall k \in \mathbb{N} \, \, \sup_{x \in H} |x_n| < \epsilon + \frac{1}{k} \]
Passando al limite per $k \to + \infty$ otteniamo che
\[ \sup_{x \in H} |x_n| < \epsilon \]
Infine abbiamo quindi che per ogni $\epsilon >0$ esiste un $N(\epsilon) \in \mathbb{N}$ tale che se $n> N(\epsilon)$ si ha
\[ \sup_{x \in H} |x_n| < \epsilon \]
che è la definizione di
\[ \lim_{n \to + \infty} y_n =0 \]
cioè $y \in c_0$.

Quindi se $H$ è relativamente compatto, si ha che esiste $y \in c_0$ tale che \( H \subset \overline{H} \subset \{ x \in c_0 \mid |x_n| \le |y_n| \, \forall \, n \in \mathbb{N} \} \).

$\exists y \in c_0$ t.c. se $x \in H$ allora $|x_n| \le |y_n| \, \forall n \in \mathbb{N}$ implica $H$ relativamente compatto.

Per dimostrare che $H$ è relativamente compatto basta mostrare che l'insieme \( R_y := \{ x \in c_0 \mid |x_n| \le |y_n| \, \forall n \in \mathbb{N} \} \) è compatto. A tal fine è sufficiente dimostrare che è totalmente limitato.
Sia $\epsilon >0$.
Poiché \( \lim_{n \to +\infty} y_n =0 \) esiste un $N (\epsilon) \in \mathbb{N}$ tale che se $n>N(\epsilon)$ allora $|y_n| < \epsilon/2$. Sia
\[ R_y(\epsilon) := \{ x \in R_y \mid x_n =0 \, \forall \, n >N(\epsilon) \} \]
Allora questo insieme è isometrico al sottoinsieme compatto di $\mathbb{R}^{N(\epsilon)}$ dato da
\[ [-|y_1|, |y_1|] \times [-|y_2|, |y_2| ] \times \dots \times [-|y_{N(\epsilon)}|, |y_{N(\epsilon)}| ] \]
e per questo motivo è compatto. Dunque esistono \( \{x^{(1)}, \dots, x^{(p(\epsilon))} \} \subseteq c_0 \) tali che
\[ R_y(\epsilon) \subseteq \bigcup_{i=1}^{p(\epsilon)} B(x^{(i)}, \epsilon/2) \]
In realtà vale proprio
\[ R_y \subset \bigcup_{i=1}^{p(\epsilon)} B(x^{(i)}, \epsilon) \]
infatti se $x \in R_y$, sia $z= \{z_n \}_{n \in \mathbb{N}} \in R_y(\epsilon) $ definito come
\[ z_n = \begin{cases} x_n \quad & \text{ se } n \le N(\epsilon) \\ 0 \quad & \text{ se } n > N(\epsilon) \end{cases} \]
e sia $i$ tale che $\|z-x^{(i)}\| < \epsilon/2 $, allora
\[ \|x - x^{(i)} \| \le \|x-z \| \le \|z-x^{(i)}\| < \sup_{n > N(\epsilon)} |x_n| + \epsilon/2 \le \sup_{n>N(\epsilon)} |y_n| +\epsilon/2 < \epsilon/2 + \epsilon/2 = \epsilon \]

cioè $H$ è totalmente limitato.