Caratterizzazione di estremi vincolati

[Dobrogost]

Ciao a tutti! Per motivi universitari sto ripassando il programma di analisi II e svolgendo un esercizio su massimi e minimi vincolati mi è venuto un dubbio.

Supponiamo di aver mostrato che il punto $(0,0)$ è un punto che annulla il gradiente della lagrangiana $f(x,y)-lambda*g(x,y)$ (in particolare viene che il gradiente è nullo in $(x,y,lambda) = (0,0,2)$). Come posso dire che il punto trovato è un minimo/massimo e non un punto di sella? Basta guardare gli autovalori dell'Hessiano di $f$ nel punto considerato? O ci sono altri metodi?

Edit. Specifico che la funzione $f$ è incognita, conosco solo il valore di gradiente e hessiano in $(0,0)$. Altrimenti bastava andare per ispezione con gli altri punti estremanti immagino

[donald_zeka]

Devi guardare l'hessiano, ma della funzione lagrangiana, non di $f$, perché per $f$ quel punto è un punto di estremo vincolato, quindi dell'hessiano non ci importa, mentre per la lagrangiana quel punto è un punto di estremo libero.

[Dobrogost]

Ottimo, grazie mille!

[dissonance]

Questo problema mi interessa, e intuitivamente anche io avrei risposto come Vulplaisir, ma credo che non sia corretto. Per esempio, cerchiamo massimi e minimi di
\[
f(x, y)=y\]
sul vincolo
\[
g(x, y)=x^2+y^2-1=0.\]
Sappiamo che il massimo e il minimo rispettivamente cadono nei punti \((x, y)=(0, \pm 1)\). Applicando l'idea di Vulplaisir di studiare gli estremi liberi della funzione lagrangiana
\[
L(x, y, \lambda)=f(x, y)-\lambda g(x, y)\]
troviamo al primo ordine le condizioni corrette, naturalmente:
\[
x=0\quad y=\pm 1\quad \lambda = \pm\frac12.\]
Ma al secondo ordine troviamo nei punti \((0, \pm 1)\) la matrice Hessiana
\[
HL(0, \pm1, \pm \frac12 ) =\mp \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{bmatrix}\]
che ha sia autovalori positivi sia autovalori negativi. E quindi concluderemmo, *erroneamente*, che i due punti trovati sono di sella.

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La corretta analisi di secondo ordine per stabilire se un punto critico è un massimo/minimo locale o una sella è contenuta in questo vecchio post di Gugo:

viewtopic.php?p=358372#p358372

[gugo82]

"dissonance":La corretta analisi di secondo ordine per stabilire se un punto critico è un massimo/minimo locale o una sella è contenuta in questo vecchio post di Gugo:

viewtopic.php?p=358372#p358372

Ecco... Mi ricordavo di aver scritto qualcosa in merito, ma non trovavo il post.
Grazie per averlo recuperato.

[dissonance]

"gugo82":[quote="dissonance"]La corretta analisi di secondo ordine per stabilire se un punto critico è un massimo/minimo locale o una sella è contenuta in questo vecchio post di Gugo:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 72#p358372

Ecco... Mi ricordavo di aver scritto qualcosa in merito, ma non trovavo il post.
Grazie per averlo recuperato. [/quote]
Riesumo questo post perché ho avuto la sensazione che il vecchio post di Gugo sia sbagliato. Ma non sono riuscito a trovare un controesempio. Mi piacerebbe avere una opinione, non sono sicuro di essere nel giusto.

Gugo dice che, dato il problema di ottimizzazione vincolata
\[
\max\{ f(x)\ |\ g(x)=1\}, \]
detto \(Z=\{g=1\}\) il vincolo, la condizione necessaria di secondo ordine affinché il punto critico \(x_0\) sia un massimo locale è che
\[\tag{!}
f''_{x_0}(v, v)\le 0, \quad \forall v\in T_{x_0} Z.\]
Qui \(T_{x_0} Z\) è lo spazio tangente la varietà \(Z\) nel punto \(x_0\); naturalmente stiamo assumendo che \(Z\) sia non degenere, nel senso che le derivate prime di \(g\) non siano tutte nulle in nessun punto di \(Z\). Il punto \(x_0\) è critico vincolato, nel senso che esiste \(\mu\in\mathbb R\) che è un moltiplicatore di Lagrange;
\[\tag{1}
f'_{x_0}(w) = \mu g'_{x_0}(w),\qquad \forall w\in\mathbb R^n.\]
Qui le derivate sono nel senso direzionale; quindi, ad esempio,
\[
f'_{x_0}(w):=\frac{\partial}{\partial t} f(x_0+tw)|_{t=0},\]
e analogamente le derivate seconde;
\[
f''_{x_0}(w_1, w_2):=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial}{\partial s}f(x_0+tw_1+sw_2)|_{t, s=0}.\]

Secondo i miei calcoli, la corretta condizione di secondo ordine non è (!), ma è invece
\[\tag{*}
f''_{x_0}(v, v)-\mu g''_{x_0}(v,v) \le 0, \qquad \forall v\in T_{x_0} Z;\]
dove \(\mu\) è il moltiplicatore di Lagrange, definito in precedenza.

Dimostrazione. Se \(\gamma\colon \mathbb R\to Z\) è una curva differenziabile, e \(\gamma(0)=x_0\), la condizione necessaria affinché \(t=0\) sia un massimo locale per la funzione di una sola variabile \(t\mapsto f(\gamma(t))\) è
\[
\frac{\partial^2}{\partial t^2}f(\gamma(t))|_{t=0}\le 0.\]
Sviluppando tale derivata si ottiene
\[
f''_{x_0}(\dot{\gamma}(0), \dot{\gamma}(0))+ f'_{x_0}(\ddot{\gamma}(0))\le 0,\]
e usando (1),
\[\tag{2}
f''_{x_0}(\dot{\gamma}(0), \dot{\gamma}(0))+ \mu g'_{x_0}(\ddot{\gamma}(0))\le 0,\]
ma d'altra parte, \(g(\gamma(t))\equiv 1\), quindi differenziando due volte si ottiene che
\[
g''_{x_0}(\dot{\gamma}(0),\dot{\gamma}(0))+g'_{x_0}(\ddot{\gamma}(0))=0, \]
che, inserito nella (2), dimostra la (*) con \(v=\dot\gamma(0)\). Siccome tutti i vettori in \(T_{x_0} Z\) sono di tipo \(\dot{\gamma}(0)\) per qualche curva \(\gamma\) come sopra, la dimostrazione di (*) è completa.

\(\square\).

[dissonance]

Sto rileggendo il mio post precedente, rendendomi conto che è un po' difficile rispondere, perché sono andato a pescare un post di Gugo vecchio di quasi 10 anni, come fosse stato scritto ieri.

@Gugo: se sei in ascolto, e se ti ricordi da dove la hai presa, potresti darmi la dimostrazione, o una referenza, per la proprietà di questo post:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 72#p358372

per favore? Grazie!