Caratterizzazione delle funzioni C^k

[hint1]

Sia $I=(a,b)\subseteq\mathbb{R}$. Mostrare che $f\in C^k(I)$ sse per ogni $c\in(a,b)$ si può scrivere $f(t)=\sum_{i=0}^k a_i(c)(t-c)^i+o((x-c)^k)$, con gli $a_i(c)$ che sono funzioni continue.
A quanto pare l'implicazione più problematica è la $\Leftarrow$..
PS: non conosco nomi per questo lemma, se ne ha uno fatemi sapere

[hint1]

Uppino..

[gugo82]

Un abbozzo.

La \(\Rightarrow\) è conseguenza della formula di Taylor col resto di Peano.

Proviamo la \(\Leftarrow\).
Supponiamo che \(f(t)=\sum_{i=0}^k a_i(c)\ (t-c)^i+\text{o}((x-c)^k)\) e facciamo vedere che \(f\) è derivabile in ogni \(c\in I\). Notato che \(f(c)=a_0(c)\) per ogni \(c\), scrivendo il rapporto incrementale troviamo:
\[
\frac{f(t)-f(c)}{t-c} = \frac{\sum_{i=1}^k a_i(c)\ (t-c)^i +\text{o}((t-c)^k)}{t-c} = \sum_{i=1}^k a_i(c)\ (t-c)^{i-1} +\text{o}((t-c)^{k-1})
\]
quindi:
\[
f^\prime (c) :=\lim_{t\to c} \frac{f(t)-f(c)}{t-c} = \lim_{t\to c} \sum_{i=1}^k a_i(c)\ (t-c)^{i-1} +\text{o}((t-c)^{k-1}) =a_1(c)\; ;
\]
lasciando libero \(c\) di variare in \(I\), dalla precedente otteniamo che \(f^\prime =a_1\) in \(I\) di modo che \(f\in C^1(I)\).
Fin qui tutto facile.

Ora dovremmo far vedere che le derivate successive di \(f\) coincidono con gli \(a_i\), ossia che \(f^{(i)}=a_i\) in \(I\) per ogni \(i\leq k\).
Ma ciò è facile, perché il teorema di de l'Hospital implica che:
\[
f^{(i)} (c)=\lim_{t\to c}\ i!\ \frac{f(t)-\sum_{n=0}^{i-1} f^{(n)} (t-c)^n}{(t-c)^i}\; .
\]
Chiaramente, una volta acquisito il fatto che \(f\in C^1\), il teorema del marchese può essere utilizzato senza problemi per calcolare \(f^{\prime \prime}\); una volta mostrato che \(f\in C^2\), il teorema del marchese può essere usato per calcolare \(f^{\prime \prime \prime}\); etc... Procedendo per induzione si finisce.

[hint1]

"gugo82":Ma ciò è facile, perché il teorema di de l'Hospital implica che:
\[
f^{(i)} (c)=\lim_{t\to c}\ i!\ \frac{f(t)-\sum_{n=0}^i f^{(n)} (t-c)^n}{(t-c)^n}\; .
\]

Intanto grazie per la risposta! Un chiarimento: qui non stiamo già assumendo l'esistenza di $f^{(i)} (c)$?

[gugo82]

"hint":[quote="gugo82"]Ma ciò è facile, perché il teorema di de l'Hospital implica che:
\[
f^{(i)} (c)=\lim_{t\to c}\ i!\ \frac{f(t)-\sum_{n=0}^i f^{(n)} (t-c)^n}{(t-c)^n}\; .
\]

Intanto grazie per la risposta! Un chiarimento: qui non stiamo già assumendo l'esistenza di $f^{(i)} (c)$?[/quote]
Errori di battitura.
Mi ero mangiato un \(-1\) nell'indice superiore di sommatoria, ed avevo messo un \(n\) al posto di \(i\) al denominatore.

Ora ho corretto.

[hint1]

Ok ma ancora non capisco come si deduce l'esistenza della derivata i-esima, che è necessario avere per poter usare il teorema di De l'Hopital

[gugo82]

E pure hai ragione... Si dovrebbe provare prima che \(f\) è \(i\) volte derivabile per fare quello che proponevo.
Non ci avevo riflettuto bene su.
Ci penserò.