Caratterizzazione delle forme quadratiche.

[Yuyu_13]

Buonasera,

Sto provando la seguente proposizione:
Sia $f \in C^2$ in un aperto $Xsubseteqmathbb{R}^N$. Sia $x_0 \in X$ punto di massimo, allora $d^2f(x_0)$ è definata negativa oppure semidefinita negativa. In particolare $f_{x_ix_j}(x_0)le0$ per $j$.

Vi volevo chiedere se la strada percorsa è giusta.

Sia $x_0 \in X$ punto di massimo, allora si ha $f(x_0) ge f(x_0+h)$, quindi $f(x_0+h)-f(x_0)le0$.
Dall'atra parte $f$ è differenziabile in $X$, quindi si ha

In tal caso ricordo la caratterizzazione delle forme quadratiche mediante autovalori, cioè

Sia $q(h)=h^TAh$ f.q.
1) $q$ definita negativa se e solo se gli autovalori $alpha_i$ sono tutti negativi
2) $q$ semidefinita negativa se e solo se gli autovalori $alpha_i$ sono tutti non positivi e almeno uno di esse è nullo.

In tal caso la rappresentativa è l'Hessiana cioè $H_(f)(x_0)=(f_(x_ix_j)(x_0))$ con $i,j=1,...,n$, in particolare è simmetrica poichè per ipotesi $f \in C^2(X)$.
Per determinare gli autovalori di $H_(f)(x_0)$ devo risolvere l'equazione caratteristica, cioè

$ det(H_(f)(x_0)-alphaI_n)=0$

.

Per allegerire un pò i calcoli, suppongo che $Xsubseteqmathbb{R}^2.$
Quindi, si ha

$H_(f)(x_0)-alphaI_n=$\begin{vmatrix} f_{xx}(x_0,y_0)-\alpha_1 & f_{xy}(x_0,y_0) \\ f_{xy}(x_0,y_0) & f_{yy}(x_0,y_0) - \alpha_2 \end{vmatrix}

per come si calcola il determinante di una matrice di ordine due e imponendo l'uguaglianza si ha che $(f_{xx}(x_0,y_0)-\alpha_1)(f_{yy}(x_0,y_0)-\alpha_2) -f_{xy}(x_0,y_0) f_{xy}(x_0,y_0) =0$

Quindi, ha $(f_{xx}(x_0,y_0)-\alpha_1)(f_{yy}(x_0,y_0)-\alpha_2) =f_{xy}(x_0,y_0) f_{xy}(x_0,y_0) $

Dopo di ciò non so come proseguire.

Grazie.

[pilloeffe]

Ciao Yuyu_13,

Potresti dare un'occhiata ad esempio a questo thread.

[Yuyu_13]

Ciao pilloeffe, dallo svolgimento dell'esercizio fatto da te nel thread, sembra che la strada sia corretta.

Ora devo continuare, quindi$ (f_(x\x)(x_0,y_0)-\alpha_1)(f_{yy}(x_0,y_0)-\alpha_2) =f_{xy}(x_0,y_0) f_{xy}(x_0,y_0) $ è uguale
$f_(x\x)(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_(x\x)(x_0,y_0)\alpha_2-\alpha_1f_{yy}(x_0,y_0)+\alpha_1\alpha_2=f_{xy}^2(x_0,y_0)$ dove si ha $\alpha_1\alpha_2-\alpha_1f_(y\y)(x_0,y_0)-\alpha_2f_(x\x)(x_0,y_0)+f_(x\x)(x_0,y_0)f_{yy}(x_0,y_0)-f_{xy}^2(x_0,y_0)=0$

Ora non so come continuare.

[pilloeffe]

Secondo me fai l'errore di scrivere gli autovalori che invece devi trovare. Lascia indicato $\lambda $ e poi considera per comodità

$ H_{f} (P_0) = [[a, b], [b, c]] $

ove $ a:= f_{x x}(x_0,y_0), b:=f_{x y}(x_0,y_0) = f_{y x}(x_0,y_0)$ e $ c := f_{y y}(x_0,y_0) $ non tutti nulli. A questo punto l'equazione $\text{det}[H_{f} (P_0) - \lambda I_2] = 0 $ diventa

$ \text{det}[[a - \lambda, b], [b, c - \lambda]] = 0 $

$(a - \lambda)(c - \lambda) - b^2 = 0 $

$ ac - a\lambda - c\lambda + \lambda^2 - b^2 = 0 $

$\lambda^2 - (a + c)\lambda + ac - b^2 = 0 $

$\lambda^2 - \text{tr}[H_{f} (P_0)]\lambda + \text{det}[H_{f} (P_0)] = 0 $

Quest'ultima è un'equazione di secondo grado nell'incognita $\lambda $ dalla quale ottieni i due autovalori:

$\lambda_{1,2} = (a + c)/2 \pm \sqrt{((a + c)/2)^2 - (ac - b^2)} = (\text{tr}[H_{f} (P_0)])/2 \pm \sqrt{[(\text{tr}[H_{f} (P_0)])/2]^2 - \text{det}[H_{f} (P_0)]} $

Potrebbe tornarti utile anche dare un'occhiata a questo thread.