Caratterizzazione del superjet

[DoraDora1]

Devo provare che, fissati una funzione qualsiasi $ u: RR^N -> RR $ e un punto $x_0\in RR^N$ e presi $p\in RR^N$ e $X$ matrice simmetrica tali che valga
$ u(x)<=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2) $ per $x->x_0$ in un insieme $O$,
allora esiste $phi$ di calsse $C^2$ tale che $nabla phi(x_0)=p$ $nabla^2 phi(x_0)=X$ e $u-phi$ abbia massimo locale in $x_0$ relativamente ad $O$.

Se definisco $phi(x)=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)$ mi garantisco le prime tre ipotesi. Posso affermare qualcosa sulla quarta?

Grazie mille!

[Rigel1]

Non è chiaro cosa tu intenda per quarta ipotesi.
In ogni caso, con quella scelta di $\phi$, non è garantito che $u-\phi$ abbia un punto di massimo locale in $x_0$.
Puoi vedere il libro di Caffarelli e Cabré, Prop. 2.4, per i dettagli.

[DoraDora1]

Hai ragione, intendevo la quarta tesi ($u-phi$ ha massimo locale in $x_0$ relativamente a $O$). In ogni caso, più in generale, quello che voglio dimostrare è
${ (p,X)\in RR^n xx S(N) : u(x)<=u(x_0)+p*(x-x_0)+1/2 (x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2)}= $
$= {(nabla phi (x_0), nabla^2 phi(x_0)) : phi in C^2, u-phi$ ha massimo locale in $x_0}$.

L'inclusione $supset$ viene subito, mentre ho problemi sulla $subset$ e anche con la proposizione che mi hai consigliato non riesco a trovarmi.

Grazie mille!