Caratterizzazione dei chiusi

[anto_zoolander]

Devo mostrare la seguente.

sia $(X,d)$ uno spazio metrico e sia $YsubsetX$ un sottoinsieme non vuoto di $X$.
Y è chiuso se e solo se per ogni successione convergente di punti di $C$ essa abbia converga ad un punto di $C$

Sto facendo dimostrazioni autonome, quindi ve la riporto per come l’ho fatta.
Faccio prima <=

Supponiamo per assurdo che esista almeno una successione convergente di punti di $C$ che non converga in un punto di $C$.
Sia $a:NN->X$ tale successione e sia $x$ il valore di convergenza.
Poiché $x$ non appartiene a $C$ allora $x$ appartiene a $X-C$(questa è la considerazione fondamentale).
Poiché per ipotesi $C$ è chiuso, allora $X-C$ è aperto e pertanto $exists r>0:B(x,r) subseteqX-C$.
Per definizione di convergenza, posto $epsilon=r$ esisterà un opportuno $n$ per il quale $(a_n)$ cade definitivamente nell’intorno $B(x,r)$. Da questo otteniamo l’assurdo poiché contraddice il fatto che la successione sia di punti di $C$.

Poi, potete darmi un hint per l’altra implicazione? ovviamente se questa risulta corretta.

[Wilde1]

Io proverei che $Y= \text{chiusura} Y$. con le definizioni.

[anto_zoolander]

Così dovrei provare che ogni punto è di aderenza.

[Shocker1]

Non capisco: chi è $C$? E nell'implicazione destra-sinistra(<=) perché sai già che $C$ è chiuso? Forse volevi dimostrare l'altra implicazione?

Se per assurdo $Y$ non fosse chiuso allora $X-Y$ non è aperto quindi...

[Wilde1]

Mi sembra che C=Y chiaramente.
E lui ha dimostrato l'implicazione =>. Deve ancora dimostrare l'implicazione <=.
L'enunciato è
$C$ chiuso se solo se ogni successione convergente di punti di $C$ converge ad un punto di $C$.

[anto_zoolander]

Scusate la demenza senile ha preso il sopravvento è $Y=C$
E la dimostrazione è di =>

[Wilde1]

Era abbastanza chiaro, tranquillo.
Prova a dimostrare l'uguaglianza $C=\bar{C}$. provando le due inclusioni. Una è ovvia, prova l'altra. (nonè esattamente quello che hai detto tu).