Caratteristica della serie
Quale criterio usereste per stabilire se la serie in basso converge o no?.
$\sum_{n=1}^infty (n!)^2/((2 n)!)$
Io ho operato come segue:
il rapporto tra l'ennesimo termine più uno e l'ennesimo termine sarà dato da:
$\((n+1)!)^2/((2 n+2)!)$ diviso $\(n!)^2/(2 n!)$
portando al risultato di $\n^2/(2 n(2 n-1))$
argomento del limite:
$\lim_{n \to \infty}n^2/(2 n(2 n-1))$
ottengo $\1/4<1$, quindi la serie converge.
Secondo voi vi è una serie maggiorante quella sopra, più semplice e soprattutto convergente, per poter usare il criterio del confronto?.
Prendo spunto dai fattoriali sopra per sapere se esiste un formulario delle operazioni tra fattoriali.
Mi spiego meglio, per ottenere il rapporto che è l'argomento del limite sopra (qualcuno, cortesemente, controlli i calcoli, potrei aver sbagliato) ho fatto ricorso al calcolo diretto tra due termini consecutivi della serie, considerando $\n=5$ e $\n=4$. Ancora, vi chiedo, c'è un modo di indicare il prodotto di n numeri consecutivi cominciando da un valore ad un altro. Ad esempio se devo indicare la moltiplicazione di numeri consecutivi, ad esempio da 5 a 12, potrei utilizzare il simbolo di produttoria:
$\prod_{i=5}^12 n_i$ poco pratico o in alternativa: $\(12!)/((n-8)!)$, forse migliore o vi è un altro metodo che non conosco. Grazie a tutti per l'attenzione.
$\sum_{n=1}^infty (n!)^2/((2 n)!)$
Io ho operato come segue:
il rapporto tra l'ennesimo termine più uno e l'ennesimo termine sarà dato da:
$\((n+1)!)^2/((2 n+2)!)$ diviso $\(n!)^2/(2 n!)$
portando al risultato di $\n^2/(2 n(2 n-1))$
argomento del limite:
$\lim_{n \to \infty}n^2/(2 n(2 n-1))$
ottengo $\1/4<1$, quindi la serie converge.
Secondo voi vi è una serie maggiorante quella sopra, più semplice e soprattutto convergente, per poter usare il criterio del confronto?.
Prendo spunto dai fattoriali sopra per sapere se esiste un formulario delle operazioni tra fattoriali.
Mi spiego meglio, per ottenere il rapporto che è l'argomento del limite sopra (qualcuno, cortesemente, controlli i calcoli, potrei aver sbagliato) ho fatto ricorso al calcolo diretto tra due termini consecutivi della serie, considerando $\n=5$ e $\n=4$. Ancora, vi chiedo, c'è un modo di indicare il prodotto di n numeri consecutivi cominciando da un valore ad un altro. Ad esempio se devo indicare la moltiplicazione di numeri consecutivi, ad esempio da 5 a 12, potrei utilizzare il simbolo di produttoria:
$\prod_{i=5}^12 n_i$ poco pratico o in alternativa: $\(12!)/((n-8)!)$, forse migliore o vi è un altro metodo che non conosco. Grazie a tutti per l'attenzione.
Risposte
Nota:
$frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}=(frac{(n+1)!}{n!})^2
$frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}=(frac{(n+1)!}{n!})^2
si infatti quoto con Gaal....avresti anche potuto semplificare direttamente e comunque ti saresti trovato. Comunque in generale si usa il metodo del rapporto quando c'è un fattoriale.
"Lorin":
Si infatti quoto con Gaal....avresti anche potuto semplificare direttamente e comunque ti saresti trovato. Comunque in generale si usa il metodo del rapporto quando c'è un fattoriale.
Esattamente... in questo caso non veniva difficile, ma se in altri casi invece il criterio del rapporto da problemi e devi confrontare un fattoriale con altri termini, puoi usare http://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling
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