Carattere $sum_(n = 1)^(+infty)x^(n*(n+2))/sqrt(n)$
Ciao a tutti!
Preparandomi per l'esame di Analisi Matematica I mi sono imbattutto in questo esercizio:
per $x>1$ la serie diverge perchè $lim_n x^(n*(n+2))/sqrt(n)=+infty$;
per $x=1$ la serie diverge perchè si riduce alla serie armonica generalizzata $sum_(n = 1)^(+infty)1/n^(\alpha)$ con $\alpha<1$, che sappiamo essere divergente;
per $0
per $x=0$ la serie converge perchè $a_n=0$ $AAn in NN$
per $-1
per $x=-1$ la serie diventa $sum_(n = 1)^(+infty)(-1)^n/sqrt(n)$, convergente sempre per il criterio di Leibnitz.
Ho trovato difficoltà per $x<-1$, in quanto in questo caso il criterio di Leibnitz non è applicabile, in quanto la successione $b_n=(-x)^(n*(n+2))/sqrt(n)$ è divergente negativamente, e non sono applicabili nè il criterio di Dirichlet nè quello di Abel per lo stesso motivo;
Posso utilizzare il fatto che se $|x|>1$ allora $sum_(n = 1)^(+infty)x^(n*(n+2))/sqrt(n)>=sum_(n = 1)^(+infty)x^n/sqrt(n)$, quindi, essendo $sum_(n = 1)^(+infty)(x^n)/sqrt(n)$ una serie di potenze con raggio di convergenza $r=1$, quindi divergente per $x<-1$, anche la serie data deve divergere?
Altri suggerimenti per lo studio del carattere della serie per $x<-1$ ?
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!
Preparandomi per l'esame di Analisi Matematica I mi sono imbattutto in questo esercizio:
Stabilire il carattere della serie
$sum_(n = 1)^(+infty)a_n=sum_(n = 1)^(+infty)x^(n*(n+2))/sqrt(n)$, al variare di $x in RR$
per $x>1$ la serie diverge perchè $lim_n x^(n*(n+2))/sqrt(n)=+infty$;
per $x=1$ la serie diverge perchè si riduce alla serie armonica generalizzata $sum_(n = 1)^(+infty)1/n^(\alpha)$ con $\alpha<1$, che sappiamo essere divergente;
per $0
per $x=0$ la serie converge perchè $a_n=0$ $AAn in NN$
per $-1
per $x=-1$ la serie diventa $sum_(n = 1)^(+infty)(-1)^n/sqrt(n)$, convergente sempre per il criterio di Leibnitz.
Ho trovato difficoltà per $x<-1$, in quanto in questo caso il criterio di Leibnitz non è applicabile, in quanto la successione $b_n=(-x)^(n*(n+2))/sqrt(n)$ è divergente negativamente, e non sono applicabili nè il criterio di Dirichlet nè quello di Abel per lo stesso motivo;
Posso utilizzare il fatto che se $|x|>1$ allora $sum_(n = 1)^(+infty)x^(n*(n+2))/sqrt(n)>=sum_(n = 1)^(+infty)x^n/sqrt(n)$, quindi, essendo $sum_(n = 1)^(+infty)(x^n)/sqrt(n)$ una serie di potenze con raggio di convergenza $r=1$, quindi divergente per $x<-1$, anche la serie data deve divergere?
Altri suggerimenti per lo studio del carattere della serie per $x<-1$ ?
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!
Risposte
Io direi intanto che la serie non è convergente perché il termine generale non è infinitesimo.
Visto che oscilla, non credo sia divergente, però non mi viene in mente ora come escludere questa possibilità.
Visto che oscilla, non credo sia divergente, però non mi viene in mente ora come escludere questa possibilità.
"Antimius":
Io direi intanto che la serie non è convergente perché il termine generale non è infinitesimo.
Visto che oscilla, non credo sia divergente, però non mi viene in mente ora come escludere questa possibilità.
Si, anche io a occhio direi che non converge, però il carattere lo devo stabilire!
Sì, ma non dicevo ad occhio. Se il termine generale di una serie non è infinitesimo, la serie non può convergere. Quindi, la convergenza già è esclusa. Ti rimane da decidere tra carattere divergente e indeterminato. Visto che oscilla, mi verrebbe da dire il secondo, ma formalmente non mi viene in mente nulla per dimostrarlo. Forse potresti dire che la successione delle somme parziali è negativa per esponenti dispari e positiva per quelli pari. Il suo valore assoluto dovrebbe essere una funzione crescente visto che $|x|>1$ e quindi tale successione non ha proprio limite (perchè esistono due sottosuccessioni tendenti a limiti differenti). Per definizione, allora la serie è indeterminata.
Per definizione la serie è indeterminata se la successione delle somme parziali non è regolare. In ogni caso mi sono reso conto utilizzando i teoremi sulle serie di termini di segno alterno, che essa non potendo divergere e non potendo convergere deve necessariamente oscillare.
Quindi dove ho sbagliato con il mio confronto con la serie di potenze che ho scritto sopra?
Quindi dove ho sbagliato con il mio confronto con la serie di potenze che ho scritto sopra?
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