Carattere serie numerica..un suggerimento
Ciao a tutti, sto ripassando esercizi vari di Analisi 1, mi è capitata tra le mani questa serie numerica, però arrivo ad un punto in cui non so più andare avanti, sicuramente vi è una strada più veloce. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo.
Stabilire il carattere della serie numerica $ sum_(n = 2)^(+\infty)\sqrt{n}(2^(\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n)))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n))) $
ho pensato di fare così
sviluppo quello che vi è dentro la parentesi tonda, però devo fare attenzione perchè non il solito esponenziale
siccome $\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n))=(1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3! (n^(3/2)\ln^3 n))+o(\ldots)$ per $n\to +\infty$
quindi si ha
per $n\to +\infty$
$a_n=\sqrt{n}(2^(\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n)))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)))=\sqrt{n}(2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3! (n^(3/2)\ln^3 n))+o(\ldots))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)) $
ok però adesso non so più come come muovermi, perchè so benissimo che lo sviluppo dell'esponenziale
è $e^x=1+x+(x^2)/(2!)+....+o(x^n)$
però qui non è $e^x$ ma è $2^x$.. Quindi che faccio?
Ok che ho scritto in questo caso $x$, mentre qui è una successione, ma lo sviluppo non cambia!
Il problema è che non so andare avanti. Qualche suggerimento?
Stabilire il carattere della serie numerica $ sum_(n = 2)^(+\infty)\sqrt{n}(2^(\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n)))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n))) $
ho pensato di fare così
sviluppo quello che vi è dentro la parentesi tonda, però devo fare attenzione perchè non il solito esponenziale
siccome $\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n))=(1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3! (n^(3/2)\ln^3 n))+o(\ldots)$ per $n\to +\infty$
quindi si ha
per $n\to +\infty$
$a_n=\sqrt{n}(2^(\sin((1)/(\sqrt{n}\ln n)))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)))=\sqrt{n}(2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3! (n^(3/2)\ln^3 n))+o(\ldots))-2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)) $
ok però adesso non so più come come muovermi, perchè so benissimo che lo sviluppo dell'esponenziale
è $e^x=1+x+(x^2)/(2!)+....+o(x^n)$
però qui non è $e^x$ ma è $2^x$.. Quindi che faccio?
Ok che ho scritto in questo caso $x$, mentre qui è una successione, ma lo sviluppo non cambia!
Il problema è che non so andare avanti. Qualche suggerimento?
Risposte
Prova a raccogliere:
\begin{align}
....=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle\frac{1}{n^{1/2}\ln n}-\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n}-\frac{1}{n^{1/2}\ln n}}-1\right]=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle -\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n} }-1\right]
\end{align}
\begin{align}
....=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle\frac{1}{n^{1/2}\ln n}-\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n}-\frac{1}{n^{1/2}\ln n}}-1\right]=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle -\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n} }-1\right]
\end{align}
"Noisemaker":
Prova a raccogliere:
\begin{align}
....=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle\frac{1}{n^{1/2}\ln n}-\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n}-\frac{1}{n^{1/2}\ln n}}-1\right]=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle -\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n} }-1\right]
\end{align}
ok però mi rimane sempre un $2^((1)/(n^(1/2)\ln n))$ fuori..
perchè
$\sqrt{n}{2^((1)/(\sqrt{n} \ln n)))[2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3!(n^(3/2)\ln n))-(1)/(\sqrt{n}\ln n))-1]}=\sqrt{n} \cdot 2^((1)/(\sqrt{n}\ln n))(2^(-(1)/(3!(n^(3/2)\ln^3 n)))-1)$
e poi sono sempre punto a capo, non so come muovermi..
"Noisemaker":
Prova a raccogliere:
\begin{align}
....=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle\frac{1}{n^{1/2}\ln n}-\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n}-\frac{1}{n^{1/2}\ln n}}-1\right]=\sqrt{n}\left[2^{\displaystyle -\frac{1}{3!n^{3/2}\ln^3n} }-1\right]
\end{align}
ok però mi rimane sempre un $2^((1)/(n^(1/2)\ln n))$ fuori..
perchè
$\sqrt{n}{2^((1)/(\sqrt{n} \ln n)))[2^((1)/(\sqrt{n}\ln n)-(1)/(3!(n^(3/2)\ln n))-(1)/(\sqrt{n}\ln n))-1]}=\sqrt{n} \cdot 2^((1)/(\sqrt{n}\ln n))(2^(-(1)/(3!(n^(3/2)\ln^3 n)))-1)$
e poi sono sempre punto a capo, non so come muovermi..
Faccio una semplificazione momentanea per evitare di scrivere troppo: se poni $t=\frac{1}{\sqrt{n}\log n}}$ allora devi sviluppare $2^{\sin t}-2^t$. Abbiamo, ricordando che $a^b=e^{b\log a}$ se $a>0$
$$2^{\sin t}-2^t=e^{\log 2\cdot\sin t}-e^{\log 2\cdot t}=e^{\log 2(t-t^3/6+o(t^3))}-e^{\log 2\cdot t}=e^{\log 2\cdot t}\left(e^{-\frac{\log 2}{6} t^3+o(t^3)}-1\right)=$$
$$e^{\log 2\cdot t}\cdot \left(-\frac{\log 2}{6} t^3+o(t^3)\right)\sim -\frac{\log 2}{6} t^3$$
in quanto il primo esponenziale è equivalente a 1. A questo punto sostituendo $t$ con la sua espressione, trovi che per il termine generale della serie si ha
$$a_n\sim\sqrt{n}\cdot\left(-\frac{\log 2}{6} \cdot\frac{1}{n^{3/2}\log^3 n}\right)=-\frac{\log 2}{6n\log^3 n}$$
Ora dovrebbe essere ovvio come procedere.
P.S.: osserva che il confronto asintotico fa supporre che la serie, almeno da un certo punto in poi, abbia termine generale di segno negativo. Ovviamente questo ti permette di utilizzare tutti i criteri noti per le serie a termini non negativi che conosci.
$$2^{\sin t}-2^t=e^{\log 2\cdot\sin t}-e^{\log 2\cdot t}=e^{\log 2(t-t^3/6+o(t^3))}-e^{\log 2\cdot t}=e^{\log 2\cdot t}\left(e^{-\frac{\log 2}{6} t^3+o(t^3)}-1\right)=$$
$$e^{\log 2\cdot t}\cdot \left(-\frac{\log 2}{6} t^3+o(t^3)\right)\sim -\frac{\log 2}{6} t^3$$
in quanto il primo esponenziale è equivalente a 1. A questo punto sostituendo $t$ con la sua espressione, trovi che per il termine generale della serie si ha
$$a_n\sim\sqrt{n}\cdot\left(-\frac{\log 2}{6} \cdot\frac{1}{n^{3/2}\log^3 n}\right)=-\frac{\log 2}{6n\log^3 n}$$
Ora dovrebbe essere ovvio come procedere.
P.S.: osserva che il confronto asintotico fa supporre che la serie, almeno da un certo punto in poi, abbia termine generale di segno negativo. Ovviamente questo ti permette di utilizzare tutti i criteri noti per le serie a termini non negativi che conosci.
grazie 
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
grazie
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
grazie
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
nella sostituzione non ci ho proprio pensato..
comunque sì ora è facile concludere perchè paragono il risultato con questa serie campione $ sum_(n = 2) (1)/(n^a \ln^q n) $
che questa converge solamente quando $ a>1, \forall q $ oppure $ a=1, q>1 $
direi che qui siamo nel secondo caso, quindi la serie converge
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