Carattere serie numerica

[kevinferl1998]

Ciao! Devo stabilire il carattere della seguente serie numerica:
$\sum_{n=1}^infty (-1)^nroot(4)(2n^3+1)sin(1/n^3)$

La serie è a segno variabile, quindi prendo in considerazione la serie dei moduli e studio l'assoluta convergenza
$\sum_{n=1}^infty |root(4)(2n^3+1)sin(1/n^3)|$
Ho pensato di applicare il criterio del confronto asintotico, ma non riesco a trovare l'altra serie con cui applicarlo

Sapete aiutarmi?
Grazie mille

[Mephlip]

Ciao! Hai che $\root{4}{2n^3+1}=(2n^3+1)^{1/4}=2^{1/4}n^{3/4}\left(1+\frac{1}{2n^3}\right)^{1/4}$ e $\sin (\frac{1}{n^3})=\frac{1}{n^3}+\text{o}\left(\frac{1}{n^3}\right)$ quando $n \to \infty$, potresti quindi usare lo sviluppo di Taylor di $(1+\varepsilon)^a=1+a\varepsilon+\text{o}(\varepsilon)$ quando $\varepsilon \to 0$ per stabilre come si comporta la radice e quindi trovare una successione confronto.

Dovrebbe venirti qualcosa che va come $\frac{c}{n^{9/4}}$ con un $c$ costante che non mi andava di calcolare .

[kevinferl1998]

Ok grazie

[Mephlip]

Ah no scusa, in realtà non serve neanche usare Taylor per la radice. Quando $n\to\infty$ domina $2n^3$ all'interno della radice, quindi raccoglilo e basta e usa l'approssimazione di Taylor per il seno come ho scritto su.

[kevinferl1998]

Ok risolto, grazie mille