Carattere serie numerica

[Alew92]

salve a tutti, io ho un problema nel determinare il carattere della seguente sere:
$\sum_{k=1}^infty (sqrt(k^k))/(k!)$

per calcolarne il carattere ho tentato di usare sia il criterio del rapporto che quello della radice ma non riesco ad arrivare ad una conclusione i miei svolgimenti sono:

innanzi tutto pongo $a_k = (sqrt(k^k))/(k!)$
CRITERIO DEL RAPPORTO:
per il criterio del rapporto, devo studiare il limite del rapporto dei termini $a_k$ e $a_(k+1)$ quindi:

$((sqrt((k+1)^(k+1)))/((k+1)!))*((k!)/sqrt(k^k))$

con delle semplificazioni arrivo a dire che:

$((sqrt((k+1)^(k)*(k+1)))/((ksqrt(k^k)+sqrt(k^k))))$

ma da qui non vedo come uscirne, potrei dire che il denominatore è asintotico a $ksqrt(k^k)$ ma non risolvo il mio problema

CRITERIO DELLA RADICE
qui devo calcolare la radice k-esima di un termine, quindi (scrivo direttamente la forma a cui sono arrivato) ottengo che:

$(a_k)^(1/k)=(sqrt(k))/((k!)^(1/k))$
ma neanche da qui riesco a cavare il ragno dal buco, sapete aiutarmi? grazie in anticipo

[Alew92]

"TeM":The ratio test is the way! Naturalmente occorre fare i conti con un po' di attenzione ... \[ \frac{\sqrt{(k+1)^{k+1}}}{(k+1)!}\cdot\frac{k!}{\sqrt{k^k}} = \frac{\sqrt{k+1}}{k+1}\cdot\sqrt{\frac{(k+1)^k}{k^k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1}}\cdot\sqrt{\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}} \] Ora sapresti concludere sul carattere della serie in oggetto?

ora dovrebbe tendere a 0! dato che il primo termine va a 0 e l'altro tende ad e, 0*e = 0, grazie mille non ci avevo pensato completamente

alla fine comunque io sono riuscito ad ottenere questo zero procedendo così:
$((sqrt((k+1)^(k)*(k+1)))/((ksqrt(k^k)+sqrt(k^k)))) = (((ksqrt(k^k)+sqrt(k^k)))/(sqrt((k+1)^(k)*(k+1))))^-1$

$(k(sqrt((k^k)/(k+1)^(k+1))) + (sqrt(k^k/(k+1)^(k+1))))^-1$

e quindi tende a 0, ho eseguiti dei passaggi corretti? grazie per l'attenzione