Carattere serie con sin
Determinare il carattere della serie $ sum_(n = 1)^( +oo ) 1/sqrt(n) * sin(1/n^a) $ al variare di $ a > 0 $
Ho ragionato così:
La serie è a termini non negativi.
L'argomento del seno è sempre compreso tra 0 e 1 e in quell'intervallo il seno è positivo.
La serie $ 1/sqrt(n) $ è una serie armonica generalizzata con esponente $ \leq 1 $ quindi diverge.
Il limite della serie per n $ rarr $ $ + oo $ tende a 0.
Quale è il criterio giusto da considerare adesso per determinare il carattere?
Ho ragionato così:
La serie è a termini non negativi.
L'argomento del seno è sempre compreso tra 0 e 1 e in quell'intervallo il seno è positivo.
La serie $ 1/sqrt(n) $ è una serie armonica generalizzata con esponente $ \leq 1 $ quindi diverge.
Il limite della serie per n $ rarr $ $ + oo $ tende a 0.
Quale è il criterio giusto da considerare adesso per determinare il carattere?
Risposte
Osservare che [tex]\displaystyle \sin \left( \frac{1}{n^a} \right) \sim_{+\infty} \frac{1}{n^a}[/tex] potrebbe aiutare, non credi? Pensa al criterio del confronto asintotico...
Il limite del rapporto asintotico mi torna 0 per ogni a... E' giusto?
$ lim_(n -> + oo ) $ $ n^a/sqrt(n) * sin(1/n^a) = 0 $
$ lim_(n -> + oo ) $ $ n^a/sqrt(n) * sin(1/n^a) = 0 $
Sì, ma questo non ti consente di concludere niente.
Ad esempio, se [tex]a = \frac{1}{4}[/tex] si ha
[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sin \left( \frac{1}{n^{\frac{1}{4}}} \right) \cdot n^{\frac{3}{4}} = 1[/tex]
Quindi in questo caso il termine generale della serie ha ordine di infinitesimo [tex]\frac{3}{4} < 1[/tex] e pertanto diverge... Quindi???
Ad esempio, se [tex]a = \frac{1}{4}[/tex] si ha
[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sin \left( \frac{1}{n^{\frac{1}{4}}} \right) \cdot n^{\frac{3}{4}} = 1[/tex]
Quindi in questo caso il termine generale della serie ha ordine di infinitesimo [tex]\frac{3}{4} < 1[/tex] e pertanto diverge... Quindi???
Perché l'esponente di $ n $ è $ 3/4 $ e non $ 1/4 $ ?
Perché volevo dimostrarti che per [tex]a = \frac{1}{4}[/tex] la serie divergeva. E in quel modo l'ho fatto.
Quindi la serie non converge per ogni a. Per quali a converge?
Quindi la serie non converge per ogni a. Per quali a converge?
$ a $ deve essere maggiore della differenza degli esponenti di $ n^b/sqrt(n) $
ma oltre a ciò non ci arrivo in questo momento...
ma oltre a ciò non ci arrivo in questo momento...
Vedila in questo modo:
[tex]$\sin\left(\frac{1}{n^a}\right)\sim\frac{1}{n^a}[/tex] da ciò segue che
[tex]$\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\sin\left(\frac{1}{n^a}\right)\sim\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\ \ \frac{1}{n^a}= \frac{1}{n^{a+\frac{1}{2}}}[/tex]
Ora devi studiare il carattere della serie
[tex]$\sum_{n}\frac{1}{n^{a+\frac{1}{2}}}[/tex].
al variare di [tex]a>0[/tex]. E' una serie particolare che sicuramente hai trattato nel corso. Sai concludere ora?
[tex]$\sin\left(\frac{1}{n^a}\right)\sim\frac{1}{n^a}[/tex] da ciò segue che
[tex]$\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\sin\left(\frac{1}{n^a}\right)\sim\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\ \ \frac{1}{n^a}= \frac{1}{n^{a+\frac{1}{2}}}[/tex]
Ora devi studiare il carattere della serie
[tex]$\sum_{n}\frac{1}{n^{a+\frac{1}{2}}}[/tex].
al variare di [tex]a>0[/tex]. E' una serie particolare che sicuramente hai trattato nel corso. Sai concludere ora?
Direi che è una serie armonica generalizzata... divergente per $ a + 1/2 leq 1 $ e convergente per $ a + 1/2 > 1 $
Esattamente 
Vi ringrazio tutti e due per l'aiuto e... la pazienza!
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