Carattere Serie con criterio del rapporto

[maxpix]

Buongiorno a tutti
La serie in questione è questa $sum(2^k*k^k)/((k!)^2) $.
Ho applicato il criterio del rapporto e dopo vari calcoli il risultato è uguale a 2 quindi in teoria la serie diverge.
Per scrupolo ho inserito la serie su wolfram il quale mi dice che la serie dovrebbe convergere secondo il criterio del rapporto.
Dove ho sbagliato?
Grazie

[Rigel1]

"maxpix":Buongiorno a tutti
La serie in questione è questa $sum(2^k*k^k)/((k!)^2) $.
Ho applicato il criterio del rapporto e dopo vari calcoli il risultato è uguale a 2 quindi in teoria la serie diverge.
Per scrupolo ho inserito la serie su wolfram il quale mi dice che la serie dovrebbe convergere secondo il criterio del rapporto.
Dove ho sbagliato?
Grazie

Penso tu abbia sbagliato nell'applicazione del criterio del rapporto.
Salvo errori, dovresti avere che
\[
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{2}{k+1} \left(1+\frac{1}{k}\right)^k\,.
\]

[maxpix]

Ma come arrivi a quella soluzione?
Io ho fatto cosi $((2^(k+1)*(k+1)^(k+1))/((k+1)!)^2)*((k!)^2/(2^k*k^k)) -> ((2^k * 2 * k^k*k*(k+1))/(k+1(k!))^2)*((k!)^2/(2^k*k^k)) -> (2k)/(k+1) = 2$ dove può essere l'errore?

[maxpix]

Mi sa che ho capito il mio errore però non capisco come fai ad arrivare da $(2(k+1)^k)/(k+1)$ a $2/(k+1)(1+1/k)^k$

[Black Magic]

"maxpix":Ma come arrivi a quella soluzione?
Io ho fatto cosi $((2^(k+1)*(k+1)^(k+1))/((k+1)!)^2)*((k!)^2/(2^k*k^k)) -> ((2^k * 2 * k^k*k*(k+1))/(k+1(k!))^2)*((k!)^2/(2^k*k^k)) -> (2k)/(k+1) = 2$ dove può essere l'errore?

$((2^(k+1)*(k+1)^(k+1))/((k+1)!)^2)*((k!)^2/(2^k*k^k)) = \frac{2*2^k * (k+1)^(k+1)}{(k!*(k+1))^2} * \frac{(k!)^2}{2^k * k^k};$

$$2* \frac{(k+1)^(k+1)}{(k!)^2 * (k+1)^2} * \frac{(k!)^2}{k^k} = 2*\frac{(k+1)^k}{k^k} * \frac{1}{k+1} ;$$

$\frac{(k+1)^k}{k^k} = (1+\frac{1}{k})^k$.

[maxpix]

mi ero perso un $k^k$ ecco perchè non mi quadrava.
Grazie