Carattere serie al variare di un parametro.
Raga qualcuno potrebbe aiutarmi a trovare il carattere di questa serie al variare del parametro $x$ nel campo dei reali.
La serie è: $\sum_{k=1}^(+\infty) sqrt(n) \{1-(1-2/n^2)^4\}x^(2n)$ nn so proprio come si fa; ringrazio tutti quelli che mi aiuteranno.
La serie è: $\sum_{k=1}^(+\infty) sqrt(n) \{1-(1-2/n^2)^4\}x^(2n)$ nn so proprio come si fa; ringrazio tutti quelli che mi aiuteranno.
Risposte
Provato col criterio del rapporto o della radice?
Poi quella è una serie di potenze della $x$. Quindi aspettati convergenza uniforme sui compatti di un intervallo tipo $(-rho, rho)$. Se trovi un risultato diverso hai sbagliato.
Resta solo da fare i conti ma io non ne ho nessuna voglia.
A te il piacere!
Resta solo da fare i conti ma io non ne ho nessuna voglia.
A te il piacere!
@dissonance: Mi sa che il ragazzo studia Analisi I e le serie di potenze non le conosce ancora... 
Infatti gugo82 nn ne ho la più pallida idea di cosa siano le serie di potenze.
Cmq gugo82 ho già provato con quei 2 criteri.
E che è uscito?
Te lo devo strappare con le pinze?
Ad ogni modo, col rapporto mi pare venga facile.
Dai posta un po' di conti... Non far fare tutto a me, che sto preparando un esame anche io.
Te lo devo strappare con le pinze?
Ad ogni modo, col rapporto mi pare venga facile.
Dai posta un po' di conti... Non far fare tutto a me, che sto preparando un esame anche io.
Ciao gugo allora ho applicato il teo del rapporto ottenedo. $lim_(n->+\infty) (sqrt(n+1)(1-(1-2/(n+1)^2)^4) \}/(sqrt(n)(1-(1-2/n^2)^4))x^2$
"identikit_man":
Ciao gugo allora ho applicato il teo del rapporto ottenedo. $lim_(n->+\infty) (sqrt(n+1)(1-(1-2/(n+1)^2)^4) \}/((sqrt(n)(1-(1-2/n^2)^4)))x^2$
....e poi? Sembra di seguire un thriller a puntate! Ma li vuoi mettere i conti e il risultato? Porca paletta!
Ecco il problema è priprio quello a questo punto nn so più come proseguire...
Un suggerimento @identikit_man ... dato il limite cha hai scritto (bene) hai che
$ \sqrt(n+1)/\sqrt(n)=\sqrt((n+1)/n)=\sqrt(1+1/n) $ no?
Riguardo al secondo pezzo ... non devi svolgere tutti i calcoli, altrimenti non ne esci più! Considera soltanto il grado massimo del rapporto e, in base alle tue conoscenze sui limiti di funzioni razionali fratte, per $x \to \+infty$ avrai che ... poi il resto vien da sé
$ \sqrt(n+1)/\sqrt(n)=\sqrt((n+1)/n)=\sqrt(1+1/n) $ no?
Riguardo al secondo pezzo ... non devi svolgere tutti i calcoli, altrimenti non ne esci più! Considera soltanto il grado massimo del rapporto e, in base alle tue conoscenze sui limiti di funzioni razionali fratte, per $x \to \+infty$ avrai che ... poi il resto vien da sé
Grazie 100 aliseo allora per la radice nn ci sn problemi in quanto tende a 1 per il secondo pezzo; invece io ho svolto i calcoli fino ad un certo punto ottenendo. $sqrt((n+1)/n) ((1-((n^2+n-1)/(n+1)^2)^4))/((1-((n^2-2)/n^2)^4))x^2$.Ora se nn sbaglio le 2 frazioni alla quarta dovrebbero tendere a 1; in quanto grado del denominatore uguale a quello del numeratore.
certo!
Quindi il risultato del limite è... ?
E la serie converge se... ?
Susu, che siamo alla fine.
E la serie converge se... ?
Susu, che siamo alla fine.
Allora ho scritto le 2 frazioni meglio ottenendo. $([(n+1)^8-(n^2+2n-1)^4]n^8)/([(n+1)^8(n^8-(n^2-2)^4)])$Sia sopra che sotto ottengo 2 polinomi che hanno lo stesso grado.Ora se $x=0$ tutto va a $0$ e quindi per il critero del rapporto tutta la serie converge.Se $x<0$ tutto il limite assume valore $<0$ e quindi la serie converge ancora.Giusto o sbgliato?
Ciao, io non ho verificato i passaggi che tu hai svolto, però se i risultati che ottieni sono quelli, allora sia per $x=0$ che per $x<0$ la serie converge....
per convergere, infatti, il risultato del rapporto deve essere $<1$, quindi sia $0$ che i valori $<0$ lo sono.
per convergere, infatti, il risultato del rapporto deve essere $<1$, quindi sia $0$ che i valori $<0$ lo sono.
Anke io sn giunto alle tue stesse conclusioni ma nn so se è giusto...
"identikit_man":
ho svolto i calcoli fino ad un certo punto ottenendo. $sqrt((n+1)/n) ((1-((n^2+n-1)/(n+1)^2)^4))/((1-((n^2-2)/n^2)^4))x^2$.
Svolgere i calcoli, ovvero come complicare un limite semplice...
Per risolvere basta usare con un po' di furbizia i limiti notevoli.
Hai:
$|a_(n+1)/a_n|=\sqrt((n+1)/n)*(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(1-(1-2/n^2)^4)*x^2 \quad$;
il primo fattore va ad $1$; terzo fattore, $x^2$, è costante; il secondo fattore va aggiustato col limite fondamentale $lim_(y\to 0)((1+y)^alpha-1)/y=alpha$ o, ciò che è lo stesso, con $lim_(y\to 0)(1-(1+y)^alpha)/y=-alpha$: hai:
$(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(-2/(n+1)^2) \to -4$ ed analogamente $(1-(1-2/n^2)^4)/(-2/n^2) \to -4$
quindi:
$(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(1-(1-2/n^2)^4)=(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(-2/(n+1)^4)*(-2/(n+1)^4)/(-2/n^4)*(-2/n^4)/(1-(1-2/n^2)^4)$
$\quad \quad =(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(-2/(n+1)^4)*(n^4/(n+1)^4)*(-2/n^4)/(1-(1-2/n^2)^4) \to (-4)*1*(-1/4)=1$;
mettendo insieme tutte le informazioni puoi affermare che:
$|a_(n+1)/a_n|=\sqrt((n+1)/n)*(1-(1-2/(n+1)^2)^4)/(1-(1-2/n^2)^4)*x^2 \to 1*1*x^2=x^2$
cosicché la serie sicuramente converge se $x^2<1$ e altrettanto sicuramente diverge se $x^2>1$.
Rimangono dubbi i casi $x^2=1$, ossia $x=pm1$, che devi analizzare a parte andando a sostituire esplicitamente i valori di $x$ nella serie di partenza...
Grazie 1000 gugo stavo uscendo pazzo; ma allora arrivato ad ottener il limite notevole posso utilizzare anke gli sviluppi asintotici?
O usi l'uno o l'altro... Usando il limite notevole, lo sviluppo asintotico diventa inutile; e viceversa.
Ad ogni modo, ti consiglio di allenarti coi limiti, ché mi pare non riesci ancora a cogliere subito quale sia il modo migliore per risolverli.
Ricordare i limiti fondamentali ed usarli quando viene comodo è sempre una cosa conveniente.
Per gli sviluppi in serie, ricordarseli è un po' più difficile (perciò preferisco sempre risolvere coi limiti fondamentali quando è possibile), però con un po' di abitudine si ricordano anche quelli.
Ad ogni modo, ti consiglio di allenarti coi limiti, ché mi pare non riesci ancora a cogliere subito quale sia il modo migliore per risolverli.
Ricordare i limiti fondamentali ed usarli quando viene comodo è sempre una cosa conveniente.
Per gli sviluppi in serie, ricordarseli è un po' più difficile (perciò preferisco sempre risolvere coi limiti fondamentali quando è possibile), però con un po' di abitudine si ricordano anche quelli.
Lo so è che il mio prof usa spesso gli infinitesimi equivalenti e poco i limiti notevoli.Poi dopo aver sostituito gli infinitesimi equivalenti usa il criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata.
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