Carattere serie al variare di $a\in R$
$ (n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $
facendo il limite di questa serie per $n -> 00$ mi viene $0$ se $a>0$ e dunque vale la condizione necessaria per la convergenza, $oo$ se $a<0$ e dunque non vale la condizione necessaria.
Adesso che faccio? La studio nei due casi di $a$?
Se $a>0$ allora per $n->oo$ l'intera serie è giusto che si comporta come $n^2/n^a$??
facendo il limite di questa serie per $n -> 00$ mi viene $0$ se $a>0$ e dunque vale la condizione necessaria per la convergenza, $oo$ se $a<0$ e dunque non vale la condizione necessaria.
Adesso che faccio? La studio nei due casi di $a$?
Se $a>0$ allora per $n->oo$ l'intera serie è giusto che si comporta come $n^2/n^a$??
Risposte
la serie è a termini positivi? (o negativi) . è la prima cosa che ti devi chiedere.
be se per $\a<0$ il termine generale della serie non va a zero, puoi dedicarti solo al caso $a>0$ in cui la condizione necessara si potrebbe verificare; osservando che per ogni valore di $n\ge 4$ il termine generale è positivo, puoi aplicare il confronto asintotico come hai fatto e quindi concludere
\[\frac{n^2}{n^a}=\frac{1}{n^{a-2}}\]
\[\frac{n^2}{n^a}=\frac{1}{n^{a-2}}\]
"Kashaman":
la serie è a termini positivi? (o negativi) . è la prima cosa che ti devi chiedere.
si, la serie è a termini positivi
Vanno bene questi passaggi per studiare il carattere della serie $ sum_(n=1)^(oo)(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ ?
Faccio il limite per vedere se è soddisfatta o no la condizione necessaria per la convergenza
$ lim_(n->oo)(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ $=0$ se $a>0$, $=oo$ se $a<=0$
Quindi nel primo caso vale la condizione necessaria per la convergenza, mentre nel secondo caso non vale e la serie diverge.
Studiando il caso $a>0$
per $n \to oo$ $(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ questo si comporta come $n^2/n^a = 1/n^(a-2)$
Ora $sum_(n=1)^(oo)$ è una serie armonica che converge se $a>2$ e diverge per $a<2$ e quindi la serie di partenza converge o diverge per quei valori.
Faccio il limite per vedere se è soddisfatta o no la condizione necessaria per la convergenza
$ lim_(n->oo)(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ $=0$ se $a>0$, $=oo$ se $a<=0$
Quindi nel primo caso vale la condizione necessaria per la convergenza, mentre nel secondo caso non vale e la serie diverge.
Studiando il caso $a>0$
per $n \to oo$ $(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ questo si comporta come $n^2/n^a = 1/n^(a-2)$
Ora $sum_(n=1)^(oo)$ è una serie armonica che converge se $a>2$ e diverge per $a<2$ e quindi la serie di partenza converge o diverge per quei valori.
"bugger":
Vanno bene questi passaggi per studiare il carattere della serie $ sum_(n=1)^(oo)(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ ?
Faccio il limite per vedere se è soddisfatta o no la condizione necessaria per la convergenza
$ lim_(n->oo)(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ $=0$ se $a>0$, $=oo$ se $a<=0$
Quindi nel primo caso vale la condizione necessaria per la convergenza, mentre nel secondo caso non vale e la serie diverge.
Studiando il caso $a>0$
per $n \to oo$ $(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $ questo si comporta come $n^2/n^a = 1/n^(a-2)$
Ora $sum_(n=1)^(oo)$ è una serie armonica che converge se $a>2$ e diverge per $a<2$ e quindi la serie di partenza converge o diverge per quei valori.
No...se $\alpha>0$ il limite non è sempre zero. Per $\alpha>0$, puoi vedere il $"log"$ come $1/n^\alpha$, quindi...?
come no, ma se $a>0$ $1/n^a$ va a zero e quindi anche il logaritmo va a zero no?
Prova a sostituire il $"log"$ con $1/n^\alpha$ (ché è lecito in questa situazione). Vale sempre $0$ il limite? (prova ad esempio con $\alpha=1$ o $\alpha=2$).
$ lim_(n\tooo)(n^3-10)/(2n+1)1/n^a $ se $a=2$ il limite fa $1/2$ se $a=1$ il limite fa $oo$ se $a>2$ il limite fa $0$
Ecco 
Ecco...ma come mai abbiamo sostituito $1/n^a$ al logaritmo? Tu hai detto "..che in questo caso si può", ma perche? quando non si può? c'è un teorema che regola questa sostituzione?
sai che
\[\ln(1+x)\sim x,\qquad x\to0\]
oppure sai che
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\]
... insomma qualcosa sai per poter fare quell'approssimazione ...
\[\ln(1+x)\sim x,\qquad x\to0\]
oppure sai che
\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\]
... insomma qualcosa sai per poter fare quell'approssimazione ...
Intendevo questo: quando le funzioni da "approssimare" sono coinvolte in prodotti e non in somme, in virtù di quello che ha scritto Noise - che suppongo tu sappia cosa vuol dire - è possibile sostituire la funzione approssimante alla funzione da approssimare.
Quindi, ricapitolando, lo studio del carattere per la mia serie verrebbe cosi:
Faccio il limite per vedere se è verificata o meno la condizione necessaria per la convergenza
$ lim_{n \to oo}(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $
se $a>2$ il limite fa $0$ e quindi è verificata la condizione necessaria per la convergenza
se $a=2$ il limite fa $1/2$
se $a<=2$ il limite fa $oo$ e quindi la serie diverge
A questo punto mi studio la serie per valori di $a>0$, ovvero dove la serie converge giusto?
Faccio il limite per vedere se è verificata o meno la condizione necessaria per la convergenza
$ lim_{n \to oo}(n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) $
se $a>2$ il limite fa $0$ e quindi è verificata la condizione necessaria per la convergenza
se $a=2$ il limite fa $1/2$
se $a<=2$ il limite fa $oo$ e quindi la serie diverge
A questo punto mi studio la serie per valori di $a>0$, ovvero dove la serie converge giusto?
La serie diverge anche per $a=2$, dal momento che è a termini positivi. Per $a>2$ devi verificare che converga; io andrei avanti col confronto asintotico.
confrontandola con $n^2/n^a$ giusto?
che mi viene da
$ (n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) ~~ n^2/n^a=1/n^(a-2) $
e quindi diverge per $a<=3$ e converge per $a>3$
che mi viene da
$ (n^3-10)/(2n+1)log(1+1/n^a) ~~ n^2/n^a=1/n^(a-2) $
e quindi diverge per $a<=3$ e converge per $a>3$
Benissimo
che sudata...
Grazie mille ragazzi, scusate se vi disturbo ogni secondo..
Grazie mille ragazzi, scusate se vi disturbo ogni secondo..
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