Carattere serie a segni alterni

[antofilo-votailprof]

Ciao a tutti. Potreste aiutarmi con questo esercizio?

Sia $sum$$(-1)^n (log(n^2 + n)/(n^3 + 7))$, con n da 1 a infinito.

Io sto provando in questo modo.
La serie è a segni alterni, provo prima ad applicare la convergenza assoluto secondo la quale se è assolutamente convergente allora sarà anche convergente.

Osservo che la successione $|an|$ è infinitesima, pertanto può o non può convergere.

Confronto asintoticamente la serie dei moduli con

$(n^2 + n) / ( n^3)$, che dovrebbe divergere.
Fin qui è esatto.
Se si, ora dovrei applicare Leibniz?

[cooper1]

hai sbagliato la stima asintotica però. il logaritmo non è asintotico al suo argomento quando questo è infinito.
è invece: $log(n^2+n)=log[n^2(1+1/n)]=2logn +log(1+1/n) ~~ 2logn$
la serie è quindi asintotica a $2/(n^3 log^(-1)n)$ che converge (serie armonica modificata)

[antofilo-votailprof]

Ti ringrazio per la repentina risposta.
Ho capito la tua correzione.
Avrei un'altra domanda.
Mettiamo caso che non mi fosse venuta in mente o comunque se mi trovassi in un caso in cui non funziona la convergenza assoluta. Avrei applicato leibniz,giusto?

[cooper1]

"AAnto":Mettiamo caso che non mi fosse venuta in mente o comunque se mi trovassi in un caso in cui non funziona la convergenza assoluta. Avrei applicato leibniz,giusto?

esatto. il teorema che hai citato prima è infatti una condizione solo necessaria ed il classico controesempio è la serie $sum_(n>0) (-1)^n /n$ che converge semplicemente ma non assolutamente.