Carattere serie

[identikit_man]

Raga mi aiutate a capire il catrattere di quwesta serie:
$\sum_{k=1}^(+\infty)sen^2(arctg(1/n)-sen(1/n))$ allora io ho ragionato così: $sen^2(arctg(1/n)-sen(1/n)) \sim ((arctg(1/n)-sen(1/n))^2$.E' corretto il mio ragionamento?Ma ora nn so più come continuare.

[Megan00b]

Potresti sviluppare quel quadrato e confontarlo asintoticamente con $1/n^2$
Nota che hai un quadrato quindi è tutta roba positiva.

[identikit_man]

Allora sviluppando quel quadrato dovrei ottenere $(arctg(1/n))^2+(sen(1/n))^2-2arctg(1/n)sen(1/n)$.A questo punto cosa devo fare?

[identikit_man]

Raga per favore qualcuno può aiutarmi; è da un giorno che sto cercando di capire come fare.Ma nn ci sto riuscendo.

[gugo82]

Usa gli sviluppi in serie di MacLaurin per stabilire l'ordine di infinitesimo della funzione $arctgx-sinx$ in $x=0$; se $p$ è l'ordine d'infinitesimo di tale funzione, allora $arctg(1/n)-sin(1/n) \sim 1/n^p$ e quindi $[arctg(1/n)-sin(1/n)]^2 \sim 1/n^(2p)$; infine, usa il criterio del confronto asintotico (tenendo presente che una serie armonica generalizzata $\sum 1/n^alpha$ converge se e solo se $alpha>1$).

[identikit_man]

ok grazie 1000..ora ci provo e vi farò sapere