Carattere serie
Salve a tutti,
sono alle prese con lo studio della convergena delle 3 seguenti serie, e qualsiasi suggerimento sarebbe molto apprezzato!
1) $sum_(k=1)^n cos(k)/(k^4+1)$
per questa ho pensato di provare con la convergenza assoluta.
Sapendo che $0<=|cos(k)|<=1$ avrò che $|(cos(k)/(k^4+1))|<=1/(k^4+1)$ ok?
quindi, studiando $sum_(k=1)^n 1/(k^4+1)$
il termine k-esimo è: $1/(k^4+1) = 1/k^4(1+1/k^4)$
detto $b_k = 1/k^4$ ho che $sum_(k=1)^n1/k^4$ converge e $lim a_k/b_k = 1$
Quindi la serie di partenza dovrebbe convergere.
2) $sum_(k=1)^n(1-cos(k))/k^2$
$0<=1-cos(k)<=2$ quindi $(1-cos(k))/k^2 <= 2/k^2$
e se non sbaglio $sum_(k=1)^n2/k^2$ dovrebbe convergere per considerazioni simili alle precedenti.
Quindi anche tale serie converge.
3) $sum_(k=1)^n(log(1+k^2)-log(k^2))/log(1+k^2)$
il termine a_k posso ridurlo a: $log(1+1/k^2)/log(1+k^2)$
A questo punto non so come andare avanti.. volendo il numeratore posso svilupparlo secondo McLaurin, in quanto 1/k^2 tende a 0, ma il denominatore no, visto che l'argomento del logaritmo non è in un intorno dello zero. Suggerimenti?
Grazie!
sono alle prese con lo studio della convergena delle 3 seguenti serie, e qualsiasi suggerimento sarebbe molto apprezzato!
1) $sum_(k=1)^n cos(k)/(k^4+1)$
per questa ho pensato di provare con la convergenza assoluta.
Sapendo che $0<=|cos(k)|<=1$ avrò che $|(cos(k)/(k^4+1))|<=1/(k^4+1)$ ok?
quindi, studiando $sum_(k=1)^n 1/(k^4+1)$
il termine k-esimo è: $1/(k^4+1) = 1/k^4(1+1/k^4)$
detto $b_k = 1/k^4$ ho che $sum_(k=1)^n1/k^4$ converge e $lim a_k/b_k = 1$
Quindi la serie di partenza dovrebbe convergere.
2) $sum_(k=1)^n(1-cos(k))/k^2$
$0<=1-cos(k)<=2$ quindi $(1-cos(k))/k^2 <= 2/k^2$
e se non sbaglio $sum_(k=1)^n2/k^2$ dovrebbe convergere per considerazioni simili alle precedenti.
Quindi anche tale serie converge.
3) $sum_(k=1)^n(log(1+k^2)-log(k^2))/log(1+k^2)$
il termine a_k posso ridurlo a: $log(1+1/k^2)/log(1+k^2)$
A questo punto non so come andare avanti.. volendo il numeratore posso svilupparlo secondo McLaurin, in quanto 1/k^2 tende a 0, ma il denominatore no, visto che l'argomento del logaritmo non è in un intorno dello zero. Suggerimenti?
Grazie!
Risposte
riguarda indici ed estremi delle sommatorie
"luca.barletta":
riguarda indici ed estremi delle sommatorie
Oh si, chiedo perdono, vanno tutte da 1 a +inf.
giusta l'osservazione che hai fatto perchè $lg(1+1/k^2)$ si comporta asintoticamente come $1/k^2$ e quindi otterresti $1/(k^2 lg(1+k^2))$ e a questo punto cosa succede se lo dividi per $1/k^2$???
ciao
ciao
"miuemia":
giusta l'osservazione che hai fatto perchè $lg(1+1/k^2)$ si comporta asintoticamente come $1/k^2$ e quindi otterresti $1/(k^2 lg(1+k^2))$ e a questo punto cosa succede se lo dividi per $1/k^2$???
ciao
$sum_(k=1)^n1/k^2$ converge
$lim 1/log(1+k^2)$ tende a 0
quindi la serie di partenza converge.
Grazie infinite per l'input.
I ragionamenti per le prime due sono corretti?
si corretti.
ciao e a presto
ciao e a presto
Ne approfitto per chiarire un altro piccolo esempio
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
es: $sum_(k=1)^(+oo) (sin(k)/k)*sin(1/k)$
sviluppando $sin(1/k)$ secondo McLaurin, ottengo $1/k + o(1/k) = 1/k + 1/k*o(1)$
il termine k-esimo posso quindi scriverlo: $(sin(k)/k)*(1/k + 1/k*o(1)) = (sin(k) + o(1))/k^2$
posto $b_k = 1/k^2$ so che $sum_(k=1)^(oo)b_k$ converge e per k->+inf $|sin(k) + o(1)| <= 1$
Posso quindi concludere che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente?
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
es: $sum_(k=1)^(+oo) (sin(k)/k)*sin(1/k)$
sviluppando $sin(1/k)$ secondo McLaurin, ottengo $1/k + o(1/k) = 1/k + 1/k*o(1)$
il termine k-esimo posso quindi scriverlo: $(sin(k)/k)*(1/k + 1/k*o(1)) = (sin(k) + o(1))/k^2$
posto $b_k = 1/k^2$ so che $sum_(k=1)^(oo)b_k$ converge e per k->+inf $|sin(k) + o(1)| <= 1$
Posso quindi concludere che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente?
"luke84":
Ne approfitto per chiarire un altro piccolo esempio
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
es: $sum_(k=1)^(+oo) (sin(k)/k)*sin(1/k)$
sviluppando $sin(1/k)$ secondo McLaurin, ottengo $1/k + o(1/k) = 1/k + 1/k*o(1)$
il termine k-esimo posso quindi scriverlo: $(sin(k)/k)*(1/k + 1/k*o(1)) = (sin(k) + o(1))/k^2$
posto $b_k = 1/k^2$ so che $sum_(k=1)^(oo)b_k$ converge e per k->+inf $|sin(k) + o(1)| <= 1$
Posso quindi concludere che la serie converge assolutamente e quindi semplicemente?
In questo caso, è sufficiente applicare il Teorema del confronto tenendo conto che
$|\sin k/k*\sin (1/k)|\le |1/k*1/k|=1/k^2$
dove ho usato le disuguaglianze $|sin k|\le 1$ e $|sin(1/k)|\le 1/k$ per ogni $k\in NN$, $k>0$.
"luke84":
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
cosa vuol dire "so che il limite della mia successione è limitato"?
immagino tu voglia dire: "so che è reale"
ma non sono sicuro, anzi
o forse era una sorta di lapsus?
in fondo, quello che serve è che il rapporto a_k/b_k sia limitato (diciamo da due costanti positive)
ovviamente basta che la limitazione sia valida solo definitivamente, se ti interessa solo stabilire il carattere della serie
"Fioravante Patrone":
[quote="luke84"]
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
cosa vuol dire "so che il limite della mia successione è limitato"?
immagino tu voglia dire: "so che è reale"
ma non sono sicuro, anzi
o forse era una sorta di lapsus?
in fondo, quello che serve è che il rapporto a_k/b_k sia limitato (diciamo da due costanti positive)
ovviamente basta che la limitazione sia valida solo definitivamente, se ti interessa solo stabilire il carattere della serie[/quote]
Scusa non ti seguo.. serve che il limite del rapporto a_k/b_k sia limitato, ok? Io cosa avevo scritto?
"Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?"
Intendevo che il limite non diverge, come nell'esempio in questione dove sappiamo che $|sin(k) + o(1)| <= 1$
Non so il valore del limite, ma so che sarà un numero compreso tra 0 e 1.
"ficus2002":
In questo caso, è sufficiente applicare il Teorema del confronto tenendo conto che
$|\sin k/k*\sin (1/k)|\le |1/k*1/k|=1/k^2$
dove ho usato le disuguaglianze $|sin k|\le 1$ e $|sin(1/k)|\le 1/k$ per ogni $k\in NN$, $k>0$.
Oh grazie, molto più semplice!
"luke84":
[quote="Fioravante Patrone"][quote="luke84"]
Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?
cosa vuol dire "so che il limite della mia successione è limitato"?
immagino tu voglia dire: "so che è reale"
ma non sono sicuro, anzi
o forse era una sorta di lapsus?
in fondo, quello che serve è che il rapporto a_k/b_k sia limitato (diciamo da due costanti positive)
ovviamente basta che la limitazione sia valida solo definitivamente, se ti interessa solo stabilire il carattere della serie[/quote]
Scusa non ti seguo.. serve che il limite del rapporto a_k/b_k sia limitato, ok? Io cosa avevo scritto?
"Il teorema del confronto posso applicarlo anche se il limite di a_k/b_k non lo conosco ma so che è limitato?"
Intendevo che il limite non diverge, come nell'esempio in questione dove sappiamo che $|sin(k) + o(1)| <= 1$
Non so il valore del limite, ma so che sarà un numero compreso tra 0 e 1.[/quote]
tu hai un numero, ma non sai se è 7, o 8, o 9.
Tu diresti che questo numero è imitato?
No. Diresti che questo numero è minore o uguale di 9
o diresti che sta dentro un insieme limitato
Il fatto è che sei tu a non sapere quanto vale questo numero.
Ma lui, poverino, è un numero reale e non diresti mai, che so, che 8 è limitato
Insomma, nel mio post volevo segnalarti un uso improprio del linguaggio matematico
ciao
PS: complimenti per il modo in cui hai risolto una equadiff a variabili separabili in un altro post. E' raro vedere usare una procedura corretta
"Fioravante Patrone":
tu hai un numero, ma non sai se è 7, o 8, o 9.
Tu diresti che questo numero è imitato?
No. Diresti che questo numero è minore o uguale di 9
o diresti che sta dentro un insieme limitato
Il fatto è che sei tu a non sapere quanto vale questo numero.
Ma lui, poverino, è un numero reale e non diresti mai, che so, che 8 è limitato
Insomma, nel mio post volevo segnalarti un uso improprio del linguaggio matematico
Quindi il mio errore è stato nello non specificare cosa intendessi per limitato senza specificare 'da cosa' fosse limitato?
Quindi l'espressione "limitato da due costanti positive" sarebbe corretta?
Grazie per la rettifica linguistica
"l'espressione "limitato da due costanti positive" sarebbe corretta?"
diciamo che, a mio parere, sarebbe molto meglio
io direi una cosa del genere (ammesso che tu sia sicuro che il limite esiste):
"il valore del limite è limitato da due costanti positive"
o
"il valore del limite è compreso fra due costanti positive"
prego
ciao
diciamo che, a mio parere, sarebbe molto meglio
io direi una cosa del genere (ammesso che tu sia sicuro che il limite esiste):
"il valore del limite è limitato da due costanti positive"
o
"il valore del limite è compreso fra due costanti positive"
prego
ciao
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