Carattere serie

[alessandro.996]

Buonasera ragazzi. Sono alle prese con lo studio del carattere di questa serie e ho qualche difficolità...

$ sum_(n=1)^(oo) 1/(nln^(3/2)(n)) $

Grazie in anticipo per il vostro aiuto!

[billyballo2123]

Le serie del tipo
\[
\sum \frac{1}{n^{\alpha}\ln^{\beta}n}
\]
convergono se e solo se $\alpha>1$ e $\beta$ qualsiasi oppure $\alpha=1$ e $\beta>1$.
La tua è del tipo $\alpha=1$ e $\beta=3/2>1$, quindi converge.

[alessandro.996]

Perdonami, ma non conoscevo questo tipo di serie e non credo ce ne abbiano mai parlato. Posso chiederti se esiste un'altra maniera?

[billyballo2123]

Uhm... no non saprei dirti altro
L'unica cosa che posso dirti è che, supponendo di sapere quando converge la serie armonica generalizzata, allora è facile dimostrare che le suddette serie convergono per $\alpha>1$. Il caso $\alpha=1$ e $\beta>1$ però non saprei come altro spiegartelo.

[alessandro.996]

beh...spero allora che qualcun altro abbia qualche idea, perchè mi sembrerebbe strano che sia l'unica maniera per farlo visto che è una traccia di esame.
Intanto comunque grazie mille lo stesso!


EDIT: credo di aver trovato una soluzione cercando tra i miei appunti.

$ 1/(nln^(3/2)(n) $ è una funzione positiva e decrescente, giusto? Quindi la serie e l'integrale generalizzato $int_(1)^(oo) f(x)dx $ hanno lo stesso carattere. Dite che può andare bene così? Se si, in questo caso l'integrale deve iniziare da 2?

[billyballo2123]

Sì così va bene. In realtà lo puoi far iniziare da 2 o 3 o 100 o da qualunque numero maggiore di 1... l'importante è che il secondo estremo sia $+\infty$.