Carattere serie

[alessandro.996]

Buonasera, ho qualche difficoltà con il carattere di questa serie:

$ sum(sqrt(n )(nsin(1/n)-cos^2(1/n) ) $

Suggerimenti?

[Zero87]

Vediamo se riesco ancora a mantenere una discreta sincronia con l'analisi. Per $n->+\infty$, $1/n$ tende a zero e un bella sostituzione asintotica non farebbe male, specie ricordando che $-cos^2 (1/n)=sin^2(1/n)-1$.
Ottieni
$"serie originale"$ $~\sum_(n=1)^(+\infty) \sqrt(n) (n\cdot 1/n-1+1/(n^2))=$...

[quantunquemente]

concentriamoci su $n sin(1/n)-cos^2(1/n)$
$x=1/n$
$f(x)=sinx/x-cos^2x$
se non ho sbagliato i calcoli con De L'Hopital,si ha che ,per $x rarr 0$ ,$f(x)$ è un infinitesimo di ordine $2$
quindi,la serie data ha lo stesso carattere della serie di termine generale $sqrtncdot1/n^2$

edit : osserviamo $n sin(1/n)-cos^2(1/n)$ non è asintotico ad $1/n^2$ ma,sempre se non ho sbagliato i calcoli,a $5/(6n^2)$
ma ai fini dell'esercizio poco conta

[alessandro.996]

Vi ringrazio entrambi per le risposte molto chiare che hanno chiarito i miei dubbi. Tuttavia mi trovo in difficoltà con il risultato finale, poichè la serie dovrebbe convergere, stando al risultato.

Allora, arrivato al punto in cui la serie di partenza ha lo stesso carattere di $\sqrt n \cdot 1/n^2=1/n$ che notoriamente diverge (serie armonica). Quindi la serie di partenza dovrebbe divergere. Errore nel risultato o...?

[quantunquemente]

alex,che mi combini..
$sqrtn/n^2=1/n^(3/2)$