Carattere locale del limite

[Dalfi1]

ciao ragazzi...come esercizio abbiamo da dimostrare che le seguenti proposizioni solo equivalenti

Innanzitutto sia $ f:Ararr RR $ con $ A sub RR $ e siano x0 punto di accumulazione per A ed I un intervallo aperto di centro x0

Queste sono le due proposizioni

a) $ EE lim_(x -> x0) f(x)=l $

b) $ EE lim_(x -> x0) f(x)|I nn A =l $ (non so se l'ho fatto bene ma volevo dire che f è ristretta a $I nn A$)

mi date qualche dritta per giungere alla soluzione?
so che è banale ma mi sto impappinando

[krek1]

Parti dalla definizione di limite e dalla definizione di restrizione.

[Dalfi1]

allora si...innanzitutto restrizione significa restringere il dominio di una funzione ad un sottoinsieme del dominio di partenza
il limite invece lo definisco cosi:

$ AA V in I(l), EE U in I(x0) tc AA x in U nn A: f(x) in V $

dove I(l) è un intorno del limite l e I(x0) è un intorno di x0

[krek1]

U cosa é?

[Dalfi1]

U appartiene all'insieme degli intorni di x0 mentre V appartiene all'insieme degli intorni di l
comunque penso di esserci riuscito perchè:
a) implica b) è ovvia per un teorema che abbiamo dimostrato in precedenza

b) implica a) invece dovrebbe essere cosi:

vogliamo dimostrare appunto che
$ AA V in I(l), EE U in I(x0) tc AA x in U nn A: f(x) in V $

allora per ipotesi abbiamo che:
$ EE lim_(x -> x0) f(x)|I nn A =l $
e questo vuol dire che
$ AA V in I(l), EE W in I(x0) tc AA x in W nn (I nn A): f(x) in V $
usando la proprietà associativa dell'intersezione la riga precedente equivale a questa
$ AA V in I(l), EE W in I(x0) tc AA x in (W nn I) nn A: f(x) in V $
$W nn I$ però è ancora un intorno di x0 (che possiamo chiamare con U) quindi la dimostrazione è fatta o sbaglio?