Carattere integrale: dubbio sul $-infty$

[^Tipper^1]

Ciao, devo studiare il carattere di questo integrale $int_(-infty)^(+infty)1/(x^2+3)dx$. Ho scritto: $int_(-infty)^(x_0)1/(x^2+3)dx+int_(x_0)^(+infty)1/(x^2+3)dx$.

Però, non so come studiare $int_(-infty)^(x_0)1/(x^2+3)dx$. Come mi devo comportare col $-infty$? Per quanto riguarda $int_(x_0)^(+infty)1/(x^2+3)dx$, ho scritto $Lim_(x->+infty)x^alpha/(x^2+3)$, per $alpha=2$ è convergente.

Grazie.

[Giuly191]

Scusa ma quell' $x^a$ da dove è saltato fuori?

[DajeForte]

Considera, se vuoi, che $0<=1/(x^2+3)<=1/x^2$

[^Tipper^1]

Ma posso usare il criterio del confronto asintotico? Ho questo dubbio perché negli appunti trovo scritto Siano $f,g: [a,+\infty] -> RR$, continue...

[salvozungri]

... oppure potresti notare che la funzione integranda è pari, di conseguenza:

[tex]$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2+3}dx= 2\int_{0}^\infty \frac{1}{x^2+3} dx[/tex]

Sfrutta il confronto asintotico solo per quest'ultimo integrale

[Edit]

"Mirino06":Ma posso usare il criterio del confronto asintotico? Ho questo dubbio perché negli appunti trovo scritto Siano $f,g: [a,+\infty] -> RR$, continue...

Certo che puoi

Se hai una funzione [tex]f[/tex] continua in [tex](-\infty, x_0][/tex], l'integrale:

[tex]$\int_{-\infty}^{x_0} f(x) dx[/tex], attraverso un banale cambiamento di variabile ([tex]$x=-t$[/tex]) diventa

[tex]$-\int_{-x_0}^{\infty} f(-t) dt[/tex] e ciò ti mette nelle condizioni del criterio del confronto asintotico che conosci tu

[^Tipper^1]

Grazie.