Carattere integrale con Criterio del Confronto

[Marcomix1]

Salve ho dei dubbi su quanto detto in titolo. Vi spiego, prendendo una funzione semplice:

$\int_0^inftysen(1/x)dx$
inanzi tutto guardo il dominio della funzione e dico che va tutto bene tranne che per $x=0$; pertanto l'integrale improprio va da $0^+$ a $infty$.
Poi verifico che la funzione sia positiva, facendo il limite della funzione per $x->0$.
Infine definisco la funzione come $a(x)$, cercando di trovare un $b(x)$ tale che $0<=a(x)<=b(x)$

Con la teoria dei limiti notevoli, posso individuare la funzione $sen(1/x)$ più o meno come $1/x$
b(x)=$1/x$

$\int_0^infty1/xdx$

Adesso come devo ragionare? come se fossimo in una serie e quindi dire che questa è una tipologia di serie alternata ( e che quindi diverge ) oppure devo fare il limite di $b(x)$ per gli estremi dell'integrale? ovvero per $x->0^+$ e va a $infty$, e per $x->infty$ e va a $0$. Faccio la somma dei due limiti, come regola di integrale improprio e vedo che diverge.

In questo caso tra $a(x)$ e $b(x)$ non devo individuare che $a(x)$ è piu piccolo di $b(x)$, poichè ho appurato che sono simili.

[Marcomix1]

Up, vorrei una risposta!

[Sk_Anonymous]

Allora, per x che tende a più infinito, il seno si comporta come $1/x$, di conseguenza l'integrale tra 22 (numero a caso maggiore di 0) e più infinito non converge. Per x che tende a 0, il seno oscilla paurosamente:), di conseguenza dovresti studiare la convergenza assoluta. Questo caso il professore non l'ha trattato, però, cercando di ragionare, io la studierei così: per $x->0$, sia $f(x)=|sin(1/x)|$. Operando un cambio di variabile del tipo $y=1/x$, abbiamo: per $y->+oo$, $f(x)=|sin(y)|$. Se ti immagini il grafico della funzione $f(y)=|sin(y)|$, concluderei che quell'integrale non converge assolutamente, ma non è detto che non converga semplicemente. Ora, non saprei come procedere.

[gugo82]

In altro modo, facendo il cambiamento di variabile [tex]y=\frac{1}{x}[/tex] si trova:

[tex]$\int_0^{+\infty} \sin \frac{1}{x}\ \text{d} x=\int_0^{+\infty} \frac{\sin y}{y^2}\ \text{d} y$[/tex],

che non dà problemi in [tex]$+\infty$[/tex], ma ne dà in [tex]$0$[/tex]. Quindi la funzione non è integrabile.


@Soscia: Che [tex]\sin \frac{1}{x}[/tex] sia assolutamente integrabile in [tex][0,\frac{1}{\pi}][/tex] si vede facilmente: infatti [tex]|\sin \frac{1}{x}|\leq 1[/tex].