Carattere e somma di una serie.

[kondor1]

Salve a tutti.la serie è la seguente: $\sum_{k=0}^(+infty) (arcsinx)^k$
la traccia chiede per quali x reali è convergente e calcolarne la somma.
Sò che lo spirito di questo forum è di fornire un suggerimento alla risoluzione e non svolgere un esercizio,detto questo vorrei dire che l'unico criterio che mi viene in mente da applicare sarebbe quello della radice ma mi blocco.
Grazie in anticipo

[Giuly191]

E' molto più semplice di quanto tu pensi, la funzione arcsin dove è definita?

[kondor1]

per le $-1<=x<=1$.Intendi dire che converge per questi valori della x?

[Gi81]

No, intende dire che se ci sono degli $x$ in cui c'è convergenza, essi devono essere per forza nell'insieme $[-1,1]$
Infatti se $xnotin[-1,1]$ non esiste $arcsin(x)$

[kondor1]

Chiaro.Ma ora che criterio posso utilizzare per determinare gli effettivi valori di convergenza in $[-1,1]$?

[Seneca1]

Usa ciò che sai sulle serie geometriche.

[kondor1]

il problema è che l'intervallo comprende anche $x=1 $ e $x=-1$.A proposito avrei un dubbio che sicuramente saprete chiarirmi riguardo la serie geometrica;perchè un libro sostiene che non ammette limite per $x<=-1$ invece un altro solo per $x=-1$ mentre per $x<-1$ è divergente.Chi ha ragione??

[Seneca1]

Sia $alpha > 1$; allora:

$sum (- alpha)^k = sum (-1)^k * alpha^k$

Secondo te qual è il comportamento di questa serie?

[Giuly191]

Per $x=-1$ la successione delle somme parziali è fatta così: $1,0,1,0,1..$ (se parti con $n=0$), secondo te questa successione non ammette limite oppure è divergente??

[Seneca1]

"Giuly19":Per $x=-1$ la successione delle somme parziali è fatta così: $1,0,1,0,1..$ (se parti con $n=0$), secondo te questa successione non ammette limite oppure è divergente??

Che il limite per $x = -1$ non esista lo ha detto l'utente stesso. Il problema era per $x < -1$...

[Giuly191]

Giusto, ho letto male la domanda! Chiedo venia..

[kondor1]

Giusta osservazione Seneca,quindi è giusto dire che il limite per $x<=-1$ non esiste.Allora tornando al nostro $arcsin(x)$ il codominio se non erro è $[-pi/2,pi/2]$,dovrei determinare per quali x $-1

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[Seneca1]

"kondor":Giusta osservazione Seneca,quindi è giusto dire che il limite per $x<=-1$ non esiste.Allora tornando al nostro $arcsin(x)$ il codominio se non erro è $[-pi/2,pi/2]$,dovrei determinare per quali x $-1

Direi di sì. Puoi ragionare tenendo conto che $arcsin(x)$ è una funzione monotona crescente.

[kondor1]

sarebbero tutte le x del dominio tranne quelle per cui risulta $arcsin(x)=+-1$ ma non sò determinarli..

[Seneca1]

"kondor":sarebbero tutte le x del dominio tranne quelle per cui risulta $arcsin(x)=+-1$ ma non sò determinarli..

Ma no. A me risulta che per $x$ tali che $ - sin(1) < x < sin(1)$ la serie converge...

[kondor1]

"Seneca":Ma no. A me risulta che per $x$ tali che $ - sin(1) < x < sin(1)$ la serie converge...

Hai ragione.Ma la somma della serie la si può calcolare per questi valori delle x?

[Seneca1]

"kondor":[quote="Seneca"]Ma no. A me risulta che per $x$ tali che $ - sin(1) < x < sin(1)$ la serie converge...

Hai ragione.Ma la somma della serie la si può calcolare per questi valori delle x? [/quote]

La somma è semplicemente $ 1/( 1 - arcsin(x) )$ , con $x in (- sin(1) , sin(1) )$.

[kondor1]

"Seneca":La somma è semplicemente $ 1/( 1 - arcsin(x) )$ , con $x in (- sin(1) , sin(1) )$.

Davvero?e quindi poi avrei $arcsin(+-sin(1))$?

[Seneca1]

Se leggi bene vedrai che ho escluso gli estremi proprio per questo motivo...

[kondor1]

"Seneca":Se leggi bene vedrai che ho escluso gli estremi proprio per questo motivo...

già..!allora la somma và lasciata così?
comunque mi sembra che il forum riporti l'orario con un'ora indietro,a chi bisogna segnalarlo?

[Gi81]

"kondor":comunque mi sembra che il forum riporti l'orario con un'ora indietro,a chi bisogna segnalarlo?

Sì può modificare l'orario dal proprio profilo:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... ditprofile
Su "Fuso Orario" selezioni "GMT+2.00 ore" e tutto si sistema

Sì, la somma va lasciata come ha scritto Seneca